058(1)

Rozwiązanie: 1) Znajdujemy współrzędne punktu styczności: x = — 1, y = 1, z— — 1 (podstawiając do danych równań t~— 1). Z kolei znajdujemy pochodne x, y i z względem t i obliczamy wartości tych pochodnych w punkcie styczności; mamy x — 3t², y = 2t, z — 1 i odpowiednio x(-l) = 3, >(—i) = -2, ż(-l) = 1.

Podstawiając teraz do ogólnych równań (1) i (2) współrzędne punktu styczności i_obliczone wartości pochodnych, dostajemy równanie stycznej

x+l y-1    z+1

3    " -2    1

oraz równanie płaszczyzny normalnej

3(.x-|-l) —2(y— ])-J-2r-{-1 = 0, czyli 3x—2y-\-z-\- 6 = 0

2) W tym przypadku krzywa jest określona jako przecięcie się dwóch powierzchni. Najpierw sprowadzamy równania krzywej do postaci parametrycznej. Biorąc z = t, otrzymamy¹' y — t², x — t*.

Następnie wyznaczamy współrzędne punktu styczności: x = 16, y = 4, z — 2 oraz wartości pochodnych x, y, z w tym punkcie: x = 4t³, y = 21, z — 1 i odpowiednio ;t(2) = 32, j(2) — 4, ż(2) = 1.

Podstawiając te wartości do równań ogólnych (1) i (2), otrzymamy równanie stycznej

x—16    y—4    z—2

“32~⁼~4~⁼~[r

oraz równanie płaszczyzny normalnej

32(x—16)-j-4(y—4)-fz—2 = 0, czyli 32x-{-4y-\-z — 530 = 0

292. Znaleźć równanie stycznej do linii śrubowej x = acost, y = asinf, z = bt w punkcie, w którym t — to, oraz kąt, jaki utworzy styczna z osią Oz.

Rozwiązanie. Oznaczając współrzędne punktu styczności przez (*o, yo, Zo) • korzystając z równania (1), otrzymamy równanie stycznej do danej linii

*o _ y—yo _

—asint₀    acosf₀ b

>) Równania parametryczne danej linii można także otrzymać w innej postaci. Ogólnie, jeżeli linia dana jako przecięcie dwóch powierzchni ma równania f(x, y, z) = 0, F{x, y, z) = 0, to można otrzymać nieskończenie wiele różnych przedstawień parametrycznych tej linii o postaci x = ę>i(/)> y — ę"₂(r), z = <f}(0-

Stąd znajdujemy cosinus kierunkowy kąta, jaki styczna tworzy z osią Oz; mamy

z    b    b

) tf²+j²+ ż²    ] a² sin²?₀ -\-a² cos²1₀ h b² \ crĄ-b¹

Wynik ten wskazuje, że wszystkie styczne do linii śrubowej są nachylone do osi Oz pod tym samym kątem.

W zad. 293—295 napisać równania prostej stycznej i płaszczyzny normalnej do krzywych:

293. x — 21, y = ln t, z — t² w punkcie, w którym t = 1.

294.    x — cos² y = sin?, z — sin y w punkcie, w którym t = ?r.

295.    y = a^-, r = x² —y² w początku układu współrzędnych.

296*. Znaleźć cosinusy kierunkowe wektora stycznego do krzywej y² = 2x, z² = 8^ w punktach, w których x — 2.

§ 15. Prędkość i przyśpieszenie ruchu krzywoliniowego

Jeżeli w dowolnej chwili czasu / położenie poruszającego się punktu M jest określone wektorem wodzącym tego punktu OM = r(t), to r jest wektorem prędkości punktu M, f jest wektorem przyśpieszenia, a hodograf wektora r jest torem ruchu punktu M.

Wektor prędkości r ma kierunek stycznej do toru, a jego moduł jest równy wartości bezwzględnej pochodnej drogi względem czasu, czyli

r — (s = AM współrzędna łukowa punktu M. tj. wielkość algebraiczna długości toru, liczona od pewmego punktu początkowego A toru).

297. Dane są równania ruchu punktu; określić, jaką linię przedstawia tor punktu (podać nazwę linii) oraz znaleźć prędkość i przyśpieszenie tego punktu;

1) r — (3?—2)i—4?y    2) r — 2cos ? ■ i-hsin? • k

3)    r = (2t²—3) i—3t ²j+(4/²—5) k

4)    r — a sin co? • i+fl cos ot ■ j-ybtk

Rozwiązanie: 1) Torem punktu jest hodograf promienia wodzącego r(3? —2, —4?) tego punktu, czyli linia określona równaniami parametrycznymi x = 3t—2, y — —4?. Rugując z tych równań parametr (czas) /, otrzymamy prostą 4x+3y+8 = 0. leżącą na płaszczyźnie xOy.

119