073(1)

11. Badamy punkt krytyczny, rozpatrując znak pochodnej s' na lewo i na prawo od tego punktu. Po ułożeniu tabelki:

X	0	1	2
s'	-	nie istnieje	+
s	mai.	min	roś.

wnioskujemy, że x = 1 jest punktem minimum, w którym s_min — s(i) = 1. Na wykresie funkcji (rys. 57) będzie to punkt kątowy o dwóch różnych stycznych jednostronnych. Współczynniki kątowe tych stycznych są równe odpowiednio —1 i +1.

341*. Znaleźć ekstrema funkcji:

l2-36^-f20x³-3^^{4    2}) u =

Rozwiązanie: 1) Ułamek o stałym i dodatnim liczniku ma ekstrema w tych samych punktach co mianownik, ale sens tych ekstremów jest przeciwny: tam gdzie mianownik ma maksimum ułamek ma minimum, i odwrotnie. (Z tej ogólnej zasady wyłącza się przypadek, kiedy ekstremum mianownika jest równe zeru).

Wykorzystując tę własność, znajdziemy punkty ekstremalne mianownika, tj. ekstrema funkcji pomocniczej y, — 12 -36x¹+20x³—3.x⁴.

I.    Znajdujemy punkty krytyczne:    = — 72.v+60x²— 12x³; y[ = 0

dla x = 0, x = 2 i x = 3. Są to punkty krytyczne, ponieważ funkcja yi jest określona i ciągła na całej osi liczbowej. Pochodna y\ istnieje wszędzie, nie ma więc innych punktów krytycznych.

II.    Badamy punkty krytyczne rozpatrując w nich znak drugiej pochodnej yi — —72 |- 120.v—36.it² (wg reguły llb). Mamy: //(O) = —72 < 0, czyli punkt krytyczny x = 0 jest punktem maksimum, y['(2) > 0, czyli

punkt x — 2 jest punktem minimum, oraz /,'(3) <0, a więc x — 3 jest punktem maksimum funkcji y_t.

Znalezione punkty ekstremalne funkcji y, dla funkcji wyjściowej y będą miały sens przeciwny. Dla funkcji y punkt x = 0 będzie punktem minimum, przy czym y_min = y(0) = 2,5, punkt x—2 będzie punktem maksimum, y_max — y(2) = —1,5, wreszcie x — 3 będzie punktem minimum, w którym y_n,in = j(3) = -2.

2) Punkty ekstremum funkcji złożonej y — j    gdzie n jest liczbą

naturalną, pokrywają się z punktaijii ekstremum funkcji podpierwiastkowej rp(x), leżącymi wewnątrz obszaru określoności funkcji y.

Posłużymy się tą własnością i znajdziemy punkty krytyczne funkcji podpierwiastkowej u_{ — e* 1

I. Szukamy punktów krytycznych: u[ 2xe^x*; u\ — 0 w punkcie x — 0. Jest to punkt krytyczny, bo funkcja u_y jest określona i ciągła na całej osi liczbowej. Pochodna u\ istnieje wszędzie, nie ma więc innych punktów krytycznych funkcji u\.

U. Badamy punkt krytyczny rozpatrując w nim znak drugiej pochodnej. Mamy u" — 2e^x*(l-\-2x^{1 2}) i i//(0) = 2 > 0. Zatem punkt x = 0 jest punktem minimum funkcji u_r.

W myśl podanej wyżej własności punkt x — 0, leżący wewnątrz obszaru określoności funkcji w, bidzie także punktem minimum funkcji u; dla x = 0,

Hmlr B.

Bez wykorzystania tej własności rozwiązanie danego zadania nastręczałoby pewne trudności. (Znaleziony punkt jest punktem kątowym wykresu funkcji u, w którym u' nie istnieje).

Znaleźć ekstrema następujących funkcji:

342. y = xr(x—6)

343. y — 3—2xj—x*

344. y = X-— 3x~ 4- 3x

348*. i> y =

347. y = 3—2 Y*²

10

4x³—9x²+6x

349*.²⁾ y = ) 2x-'+3.v²-36%

149

1

>) Patrz rozwiązanie zad. 341(1).

2

) Patrz rozwiązanie zad. 341 (2).