072(1)

II. Badamy punkty krytyczne określając znak pochodnej »' w punktach sąsiadujących z nimi. Układamy tabelkę:

X	-1	0	1 2	1	2
V	+	co	-	0	+
V	roś.	max	mai.	min	roś.

Z tabelki wynika, że funkcja v ma dwa punkty ekstremalne: punkt maksimum x = 0, gdzie v_max = c(0) = 1, 1 punkt minimum x = 1, gdzie v_min = *>(1) = -2 (rys. 53).

4) I. Szukamy punktów krytycznych. Pochodna p = 3x²—12 jest równa zeru w punktach .v — ±2; są to punkty krytyczne, ponieważ funkcja p jest określona i ciągła na całej osi liczbowej. Pochodna p' istnieje wszędzie, więc funkcja p nie ma innych punktów krytycznych.

II. Badamy punkty krytyczne wyznaczając znak drugiej pochodnej p" w tych punktach (w myśl reguły Ilb): p" = 6x, p'(—2) = —12 < 0, czyli punkt krytyczny .v = —2 jest punktem maksimum, w którym p_max = = p(—2) = 16. Z kolei dla p"{2) = 12 > 0 w punkcie krytycznym x = 2 występuje minimum funkcji, równe p_min — p(2) = —16 (rys. 54).

Pł

Rys. 54

5) I. Wyznaczamy pochodną q' = -y.v^3/2+2x oraz punkty krytyczne.

Pochodna q jest równa zeru w punkcie x — 0. Funkcja q jest w tym punkcie ciągła, punkt ten jednak nie leży wewnątrz obszaru określoności funkcji, którym jest przedział 0 ^ x < +co. Dlatego punkt x = 0 nie jest punktem krytycznym. W żadnym innym punkcie pochodna nie równa się zeru i istnieje w całym obszarze określoności funkcji, zatem funkcja q, nie mając ani jednego punktu krytycznego, nie ma ekstremum. W całym obszarze określoności funkcja ta stale (monotonicznie) rośnie, ponieważ g'>0w całym tym obszarze (rys. 55).

Gdybyśmy nie wzięli pod uwagę, że punkt x = 0 nie leży wewnątrz obszaru określoności funkcji q, to stosując regułę Ilb mielibyśmy q" —

= ~x^ll2+2, q"(0) = 2 > 0, czyli doszlibyśmy do błędnego wniosku, że w punkcie tym funkcja q ma minimum.

6) I. Znajdujemy punkty krytyczne: r' = 2sinxcosx = sin2x, r' — 0

dlax* = k = 0, ±1, ±2, ...

Wszystkie punkty x_k są punktami krytycznymi, ponieważ funkcja r jest określona i ciągła na całej osi liczbowej; r' istnieje wszędzie, nie ma więc innych punktów krytycznych.

II. Zbadajmy punkty krytyczne określając znak drugiej pochodnej w tych punktach: r" = 2cos2x; r"(x_k) — 2coskrr. Dla parzystych k mamy r"(x_k) = 2 > 0 i odpowiednie punkty x_k będą punktami minimum, w których r_min = 0; dla nieparzystych k jest r"(x_k) = —2 < 0, a więc odpowiednie punkty są punktami maksimum, w których r_max = 1 (rys. 56).

Okazało się tu, że maksima i minima funkcji r następują kolejno po sobie. To samo zachodzi dla każdej funkcji ciągłej mającej kilka punktów ekstremalnych.

7)* I. Szukamy punktów krytycznych: i' = ±    ; znak plus

odpowiada przedziałowi 1 < x < +00, a minus — przedziałowi —oo< < x < 1. Pochodna s' nigdzie nie znika i istnieje wszędzie, z wyjątkiem punktu x — 1. Jest to punkt krytyczny, bowiem funkcja s jest określona i ciągła na całej osi liczbowej.

10* 147