091(1)

gdzie /? oznacza ten koniec przedziału [a, b], w którym f(x) i f"(x) mają jednakowe znaki.

Geometrycznie (rys. 81), końcami a_y i b_l nowego przedziału są odcięte punktów przecięcia się siecznej AB i stycznej Bb_t z osią Ox, które to punkty leżą bliżej szukanego pierwiastka x₀ niż granice przedziału [a. b].

Z kolei biorąc za punkt wyjścia ten węższy przedział, można za pomocą tych samych wzorów (*) znaleźć jeszcze węższy przedział, wewnątrz którego zawiera się pierwiastek a'₀.

Ten proces stopniowego zawężania przedziału, w którym zawiera się pierwiastek x_Q, sprowadzający się do wielokrotnego stosowania wzorów (*) kontynuujemy dopóty, dopóki długość przedziału a_b b, będzie nie większa od podwojonej wartości przyjętego dopuszczalnego błędu <5, czyli \a,~ń;| < 2d, a następnie obliczamy szukaną wartość przybliżoną pierwiastka x₀ ze wzoru¹ >

407. Oddzielić pierwiastki rzeczywiste równań:

1) a^-cos* = 0    2) 2x*+x+l =0    3) x—ctgx = 0

Rozwiązanie. Aby oddzielić pierwiastki rzeczywiste danego rów'-nania, czyli aby każdy z nich umiejscowić wewnątrz odrębnego niewielkiego przedziału, posłużymy się metodą graficzną.

b Może tu być ą g 4;. Jeżeli, jak zwykle, a < b, to dla fl = b będzie o, < 4„

a₂ < b₂,..... a dla p = a będzie a, > 4„ a₂ > b₂, ....

Przy ponownym stosowaniu wzorów w drugim z nich (wzór stycznych) należy zawsze podstawiać nową granicę 4,- obliczoną z tego właśnie wzoru.

1) Dane równanie piszemy w postaci x² = cos* i sporządzamy wykresy krzywych y = *² i y = cośx w jednym i tym samym układzie współrzędnych, o jednakowych jednostkach skali na obu osiach (rys. 82).

Liczba punktów przecięcia się tych krzywych jest równa liczbie pierwiastków rzeczywistych rozważanego równania, a odcięte punktów przecięcia się są właśnie szukanymi pierwiastkami.

Z rysunku widać, że rozważane równanie przestępne x²—cos* = 0 ma dwa pierwiastki rzeczywiste, z których jeden *i zawiera się w przedziale [—1; —0,8], a drugi x₂ w przedziale [0,8; 1],

2) Równanie zapisujemy w postaci 2*³ = — *— 1 i wykreślamy krzywa y = 2x³ i y ~ —*—1 w jednym układzie współrzędnych (rys. 83), przy zaznaczonych różnych dla każdej osi, ale jednakowych dla obu krzywych

Rys. 83

Rys. 84

skalach. Z wykresu odczytujemy, że rozważane równanie algebraiczne ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty, zawarty w przedziale [—0,6; —0,5].

3) Równanie *—ctg* = 0 piszemy w postaci * = ctg* i wykreślamy krzywe y — x i y — ctg* (rys. 84). Cotangensoida ma nieskończenie wiele

185