img007 3

22 L Estymacja przedziałowa parametrów

gdzie x oznacza obliczoną z wyników x> próby średnią arytmetyczną według wzoru

1 —a jest prawdopodobieństwem przyjętym z góry i nazywanym współczynnikiem ufności, a jest wartością zmiennej losowej U mającej Tozkład normalny standaryzowany. Wartość u„ dla danego współczynnika ufności 1 —a wyznacza się z tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego //(O, 1) w taki sposób, by spełniona była relacja P{-u_ir< U<u₉}= 1 — a (rys. 1), Na przykład dla najczęściej przyjmowanego współczy nnika ufności I —x= = 0,95 mamy «_a=l₇96.

W

Rys. I. Rozkład normalny standaryzowany

Model IL Populacja generalna ma rozkład N(m, a). Nieznana jest zarówno wartość średnia m, jak i odchylenie standardowe o w populacji. Z populacji tej wylosowano niezależnie małą próbę o liczebności n elementów. Przedział ufności dla średniej m populacji otrzymuje się wówczas według wzoru

(1.2)    p]x—* ji_<ni cś-fr, • , r.S- = 1 -*

(.    ' Vn-1    vn-IJ

lub według wzoru równoważnego

gdzie x oznacza średnią' arytmetyczną obliczoną z wyników próby, s i $ są odchyleniami standardowymi z próby obliczonymi według wzorów

(1.4)    f ta-*)*, s =    7 (xc-*)².

Wartość r, oznacza wartość zmiennej f Studenta odczytaną z tablicy tego rozkładu dla n - I stopni swobody w taki sposób, by dla danego z góry prawdopodobieństwa 1—ot spełniona była relacja /^>{-r₂</<?,}= 1 (rys. 2).

Model m. Populacja generalna ma rozkład N(m, o) bądź dowolny inny rozkład o średniej m i skończonej wariancji ó¹ {nieznanej). Z populacji tej pobrano do próby n niezależnych obserwacji, przy czym liczebność próby jest duża (co najmniej kilka dziesiątków). Wtedy przedżiał ufności dla średniej m populacji wyznaczamy ze wzoru jak w modelu I, z tą tylko różnicą, że zamiast o we wzorżc tym używamy wartości odchyleń standardowych s lub 1 obliczonych z próby. Ze względu na dużą próbę, wyniki jej grupuje się zwykle w szereg rozdzielczy o r klasach i wtedy wygodnie jest obliczać rr oraz s według wzorów

_    1    ^ o

*=-' Z ^xJⁿr

n 1

0.5)

/¹ V ,»    -,₂

s-yl- Z

\ « j- i gdzie Xj oznacza środek poszczególnego przedziału klasowego., a jego liczebność. Gdy liczba r przedziałów klasowych jest mała, tzn. gdy długość h