3 (1848)

24 I. Estymacja przedziałowa parametrów

każdego przedziału klasowego jest duża, obliczając ż powyższego wzór™ wartość s należy stosować tzw. poprawkę na grupowanie, tj. odjąć od s*v liczbę j^h², a dopiero potem wyciągnąć pierwiastek.

Należy zwrócić uwagę, że wzory na przedziały ufności dla średniej raił w modelu I i II są wyznaczone w oparciu o dokładny rozkład statystyki xm natomiast w modelu III w oparciu ojej rozkład graniczny (z dużej próby* Ponadto, podczas gdy przedziały ufności otrzymane w oparciu o rozkłal! normalny mają przy ustalonym n j stałą długość, to przedziały ufności otrzymane w oparciu o rozkład Studenta mają w różnych próbach, oprócl końców również zmienną długość.

Współczynnik ufności 1— a przyjmuje się subiektywnie, jako dowolni© duże, bliskie 1, prawdopodobieństwo. Jest ono miarą zaufania do prawidłol

wego szacunku. Ponieważ jednak duży współczynnik ufności daje szersżl

przedział, nie należy więc bez potrzeby przyjmować tego współczynnika! zbyt wysokiego. Zwykle przyjmuje się współczynniki ufności 1—a wync|| szące 0,90, 0,95 (najczęściej), wreszcie 0,99 lub nawet 0,999 (w badaniach! gdzie ryzyko pomyłki musi być bardzo małe, np. w niektórych zagadnieniach medycznych czy technicznych).

Na zakończenie wyjaśnień podstawowych, podamy kilka uwag dotyczą! cych interpretacji konkretnie obliczonego już przedziału ufności. Uwag! te są też aktualne przy interpretacji przedziałów ufności dla innych para! metrów, które omówione będą jeszcze w tym rozdziale.

Po pierwsze, przy zapisie obliczonego według wzoru, na przedział! ufności przedziału liczbowego, pomijamy już prawdopodobieństwo! tzn. piszemy np. 203<m<210, a nie P(203<m<210}=0,95 (gdyż m jest stałym parametrem, konkretną liczbą, więc nierówność w nawiasie jeśli albo prawdziwa albo fałszywa).

Ścisła interpretacja otrzymanego przedziału liczbowego jest następu! jąca: przedział liczbowy np. o końcach 203 i 210 jest jednym z tych prze-l działów otrzymywanych z różnych prób, które to przedziały mają tę własl ność, że z dużym, wynoszącym np. 95 % prawdopodobieństwem pokrywają? prawdziwą wartość średniej m populacji generalnej (tzn. częstość tych prze-J działów otrzymywanych odpowiednim wzorem na przedział ufności, które nie pokrywają wartości średniej m, wynosi tylko 5 na 100). Czy otrzymany z jednej, konkretnej próby przedział liczbowy, np. o końcach 203 i 210 pokrywa wartość średniej m czy też niei tego z zupełną pewnością nie*

wiemy. Jednakże że względu na duże prawdopodobieństwo pokrywania średniej m, jakie ma klasa, tych przedziałów, do których należy nasz konkretny przedział, mamy prawo mieć ufność, że pokrywa on wartość średnią m populacji, W praktyce, formułując ostateczną odpowiedź po obliczeniu konkretnego przedziału ufności, można pominąć słowa „jest jednym z tych przedziałów...” i można powiedzieć wprost: „przedział liczbowy o koń* cach 203 i 210 z ufnością 95-procentową pokrywa prawdziwą jwartość średnią m w populacji generalnej (lub że jestona objęta tym przedziałem)”i Nie należy natomiast używać sformułowania: „z prawdopodobieństwem. 0,95 średnia m znajdzie się w przedziale o końcach 203 i 210”, gdyż sugerowałoby to zmienność parametru m, podczas gdy w rzeczywistości zmienny jest przedział ufności- ^/położenie jego końców na osi wartości badanej cechy)T^^

Przykład 1. Wytrzymałość pewnego materiału budowlanego jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(m, a). W celu oszacowania nieznanej średniej m wytrzymałości tego materiału dokonano pomiarów wytrzymałości na n = 5 Wylosowanych niezależnie sztukach tego materiału. Wyniki pomiarów były następujące (w kG/cm²): 20,4, 19,6, 22,1, 20,8, 21,1. Przyjmując współczynnik ufności l-a=0,99 zbudować przedział ufności dla średniej wytrzymałości m tego materiału.

Rozwiązanie. Z treści zadania wynika, że ze względu na nieznajomość odchylenia standardowego a oraz małą próbę mamy do czynienia z modelem II i w oparciu o rozkład t Studenta należy zbudować przedział ufności według wzoru (1.2).

Należy najpierw obliczyć z próby wartości x oraz s. Obliczenia wygodnie jest przeprowadzić w formie tabelarycznej. Mamy zatem

Wynik pomiaru wytrzymałości x,	-y jiC| — x\
U 20,4	0,4	0,16
19,6	m	1,44
. 22,1	1,3,	1,69
20,8 '	0	v ó.■^tv
21,1	0,3	0,09
104,0 .		3,38 /