img008 2

24 I. Estymacja przedziałowa parametrów

każdego przedziału klasowego jest duża, obliczając z powyższego wzoru wartość s należy stosować tzw. poprawkę na grupowanie, tj. odjąć od s²liczbę j^h², a dopiero potem wyciągnąć pierwiastek.

Należy zwrócić uwagę, że wzory na przedziały ufności dla średniej w w modelu I i II są wyznaczone w oparciu o dokładny rozkład statystyki x> natomiast w modelu Ol w oparciu ojej rozkład graniczny (z dużej próby). Ponadto, podczas gdy przedziały ufności otrzymane w oparciu o rozkład normalny mają przy ustalonym n stalą długość, to przedziały' ufności otrzymane w oparciu o rozkład Studenta mają w różnych próbach, oprócz końców' również zmienną długość.

Współczynnik ufności 1— <x przyjmuje się subiektywnie, jako dowolnie duże, bliskie 1, prawdopodobieństwo. Jest ono miarą zaufania do prawidłowego szacunku. Ponieważ jednak duży współczynnik ufności daje szerszy przedział, nie należy więc bez potrzeby przyjmować tego współczynnika zbyt wysokiego. Zwykle przyjmuje się współczynniki ufności 1 —a wynoszące 0,90, 0,95 (najczęściej), wreszcie 0.99 lub nawet 0,999 (w badaniach, gdzie ryzyko pomyłki musi być bardzo matę, np, w niektórych zagadnieniach medycznych czy technicznych).

Na zakończenie wyjaśnień podstawowych, podamy kilka uwag dotyczących interpretacji konkretnie obliczonego już przedziału ufności. Uwagi te są też aktualne przy interpretacji przedziałów ufności dla innych parametrów, które omówione będą jeszcze w tym rozdziale.

Po pierwsze, pizy zapisie obliczonego według wzoru na przedział ufności przedziału liczbowego, pomijamy już prawdopodobieństwo, tzn. piszemy np. 203</n<210, a nie P(203 <m <210) = 0,95 (gdyż m jest stałym parametrem, konkretną liczbą, więc nierówność w nawiasie jest albo prawdziwa albo fałszywa).

Ścisła interpretacja otrzymanego przedziału liczbowego jest następująca: przedział liczbowy np. o końcach 203 i 210 jest jednym z tych przedziałów' otrzymywanych z różnych prób, które to przedziały mają tę własność, że z dużym, wynoszącym np. 95 % prawdopodobieństwem pokrywają prawdziwą wartość średniej m populacji generalnej (tzn. częstość tych przedziałów otrzymywanych odpowiednim wzorem ua przedział ufności, które nie pokrywają wartości średniej m, wynosi tylko 5 na 100). Czy otrzymany z jednej, konkretnej próby przedział liczbowy, np. o końcach 203 i 210 pokrywa wartość średniej mery też nie, tego z zupełną pewnością nie wiemy. Jednakże ze względu na duże prawdopodobieństwo pokrywania średniej «/, jakie ma klasa tych przedziałów, do których należy nasz. konkretny przedział, mamy prawo mieć ufność, że pokrywa on wartość średnią rn populacji. W praktyce, formułując ostateczną odpowiedź po obliczeniu konkreinego przedziału ufności, można pominąć słowa „jest jednym z tych przedziałów’..."' i można powiedzieć wprost: „przedział liczbowy o końcach 203 i 210 z ufnością 95-procentową pokrywa prawdziwą wartość średnią »i w populacji generalnej (lub że jest ona objęta Cym przedziałem)”. Nie należy natomiast używać sformułowania: ..z prawdopodobieństwem 0.95 średnia m znajdzie się w przedziale o końcach 203 i 210", gdyż sugerowałoby io zmienność parametru m, podczas gdy w rzeczywistości zmienny jest przedział ufności (tj. położenie jego końców na osi wartości badanej cechy).

Przykład 1. Wytrzymałość pewnego materiału budowlanego jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(m, c). W celu oszacowania nieznanej średniej m wytrzymałości tego materiału dokonano pomiarów wytrzymałości na «=5 wylosowanych niezależnie sztukach tego materiału. Wyniki pomiarów były następujące (w kG/cm²): 20,4, 19,6, 22.1. 20,8, 21,1, Przyjmując współczynnik ufności 1—3=0,99 zbudować przedział ufności dla średniej wytrzymałości m tego materiału.

Rozwiązanie. Z treści zadania wynika, źc zc względu na nieznajomość odchylenia standardowego c oraz małą próbę mamy do czynienia z modelem II i w oparciu o rozkład i Studenta należy zbudować przedział ufności według wzoru (1.2).

Należy najpierw obliczyć z próby wartości i oraz a. Obliczenia wygodnie jest przeprowadzić w formie tabelarycznej. Mamy zatem

Wynik pomiaru : wytrzymałości	i*-s:	(i-ł² J
: 20,4	0,4	r 0.16
19, 6	1,2	1.44
22. J	1,3	1,69
20,8	0	0
21,1	0,3	009
! 104.0		3,38