4 (1624)

26 I. Estymacją przedziałowa parametrów

Stąft

3ć=~=20,8 kG/cm², , ś=V&6~76 fe 0,82 kG/cm².

Znajdujemy teraz wartość r_a zmiennej t Studenta. Z tablicy rozkładu! Studenta dla l+ą==0,99 (tzn, w kolumnie rozkładu dla a=0,01) oraz dlai #—1=4 stopni swobody odczytujemy wartość t_a=4,604.

Podstawiając te wartości do wzoru na przedział ufności otrzymujemy

20,8 - 4,604 • ^ < m < 20,8 +4,604 •»

v 4    v4 9

czyli

20,8 -1,9 <m <20,8 +1,9,

Skąd 18,9 <m < 22,7.

Zatem przedział liczbowy o końcach 18,9 i 22,7 kG/cm² z ufnościJ 0,99 pokrywa nieznaną średnią wytrzymałość tego materiału. Do obli-] ezeń inżynierskich dla tego materiału, należy zatem wziąć pod uwagd nawet tak niską wytrzymałość jak 18,9 kG/cm².

Przykład 2. Chcemy oszacować średni staż pracy pracowników za| trudnionych przy obsłudze elektronicznych maszyn cyfrowych w Polsce! W tym celu, za pomocą schematu losowania nieograniczonego nie4 zależnego, wylosowano z populacji tych pracowników próbę licząca 77 = 100 osób i otrzymano następujące wyniki badania tego stażu pracyj w latach (wyniki pogrupowane w szereg rozdzielczy):

Staż pracy w latach Xj	Liczbą pracowników n}
0-2	\4
*2-4	10
4-6	55
Ę 6 - 8	25
s 8 - 10	.6

Przyjmując współczynnik ufności l-a=0,90, zbudować przedział ufności dla średniego stażu pracy badanej populacji pracowników.

Rozwiązanie. Z treści zadania wynika, że ze względu na dużą próbę; mamy do czynienia z modelem III. Przedział ufności dla średniej m populacje

nu leży zatem zbudować w oparciu o rozkład normalny według wzoru (1.1), pi/.yjmując zamiast ó wartość jego zgodnego estymatora s z próby. Obliczenia x oraz s przeprowadzamy w. formie tabelarycznej:

Xj	”j	O Xj	. 0 Xj*J	(X,-*)^2	(Xj-x)^2rtj
0- 2	4	1	4	19,36	. 77,44
2- 4	10	'3	30	5,76	57,60
4- 6	55	5,	275	0,16	8,80
6- 8	25	7	175	2,56	64,00
8-10	6	9	54	12,96	77,76
	100		538		285,60

Stąd ?

*=|^=5,38«5,4,    s²=²-££=2,856.

Ze względu na małą liczbę przedziałów (h=2 lata) należy zastosować poprawkę na grupowanie, tzn. od s² odjąć —A² = ^— = 0,333. Zatem

s=V2,856 -0,333 W?,523 «1,6.

Należy teraz odczytać z tablicy rozkładu normalnego iV(0,1) wartość u_a. Dla 1 — a = 0,9 (tzn. dla a = 0,1) odczytujemy ż tej tablicy wartość «„=’1,64. Otrzymujemy zatem następujący przedział ufności dla średniego stażu pracy m:

5,4—1,64-== <m<5,4+1,64—=,    czyli 5,4-0,3<m<5,4+0,3,

■ . vi©o    vioo

skąd 5,l<m<5,7.

Zatem przedział liczbowy o końcach 5,1 i 5,7 lat obejmuje z ufnością 0,90 prawdziwą średnią m stażu pracy w badanej populacji pracowników zatrudnionych przy EMC.

Zadania

v 1.1. Należy oszacować żywotność (w godzinach świecenia) wyprodukowanej partii świetlówek. Wiadomo, że czas świecenia świetlówek mą rozkład normalny z odchyleniem standardowym <r=120 godzin. Wyloso-