img009

26 I. Estymacja przedziałowa pararaelrów

Stąd

x = ^“-20,8 kG/cm²,    676 *0,82 kG/cm*.

Znajdujemy tera?, wartość zmiennej t Studenta. Z tablicy' rozkładu Studenta dla 1 -2=0.99 (tzn. w kolumnie rozkładu dla 3=0,01) oraz dla «-f= 4 stopni swobody odczytujemy wartość t_a= 4,604.

Podstawiając le wartości do wzoru na przedział ufności otrzymujemy

20,8 - 4,604 •    < w < 20,8 -I- 4,604 • ~

czyli

20,8-1,9 <m <20,8 -1,9,

skąd 18,9 < m <22,7.

Zatem przedział liczbowy o końcach 18,9 i 22,7 kG/cm² z ufnością 0.99 pokrywa nieznaną średnią wytrzymałość tego materiału. Do obliczeń inżynierskich dla tego materiału, należy zatem wziąć pod uwagę nawet tak niską wytrzymałość jak 18,9 kG/cm².

Przykład 2. Chcemy oszacować średni staż pracy pracowników zatrudnionych przy obsłudze elektronicznych maszyn cyfrowych w Polsce. W tym celu, za pomocą schematu losowania nieograniczonego niezależnego, wylosowano z populacji tych pracowników próbę licząca r? = 10G osób i otrzymano następujące wyniki badania tego stażu pracy w latach (wyniki pogrupowane w szereg rozdzielczy):

Staż prac? w- latach Xf	Liczba pracowników n}
0- 2	4
2- 4	10
4- 0	55
(>- $	25
3 - 10	^6 i

Przyjmując współczynnik ufności 1-3=0,90. zbudować przedział ufności dla średniego stażu pracy badanej populacji pracowników.    |

Rozwiązanie. Z treści zadania wynika, że ze względu na dużą próbę mamy do czynienia z modelem III. Przedział ufności dla średniej m populacji

f

należy zatem zbudować w oparciu o rozkład normalny według wzoru (1.1), przyjmując zamiast er wartość jego zgodnego estymatora or z próby. Obliczenia x oraz .s przeprowadzamy w formie tabelarycznej:

Stąd

*-TO “W* *5,4.

=2,856

^x)	n \	o Xt	O | *f*i	C . U,-*)’	c . i (x.-ky Ttj j
0- 2	4	1	4	19,26	77,44
2- 4	JO	3	30	5.76	57,60
4- 6	55	5	275	0,16	8,80
6- 8	25	7	175	2.56	64,00 !
8 - 10	6 ,	9	54	1296	77,76 j
1	J00	538 •		285.60

Ze względu na małą liczbę przedziałów (h —2 Jata) należy zastosować poprawkę na grupowanie, tzn. od .s¹ odjąć jy/J*= *, =0,333. Zatem’

s — v 2,856 —0,333 = \ 2,523 ^1,6.

Należy teraz odczytać z tablicy rozkładu normalnego >(0,1) wartość u_a. Dla 1— a: = 0,9 {tzn. dla x = 0,l) odczytujemy z tej tablicy wartość w_#=l,64. Otrzymujemy zatem następujący przedział ufności dla średniego stażu pracy m:    _ . ^

wi' '‘"z

5,4 — 1,64 ¹'4: < w <5,4+ 1,64 *:L. czyli 5,4-0,3 <»K5,4-0,3 ,

V 10O    *• 100

skąd 5,1 <m<5,7.

Zatem przedział liczbowy o końcach 5.1 i 5,7 lat obejmuje z ufnością 0,90 prawdziwą średnią m stażu pracy' w badanej populacji pracowników zatrudnionych przy EMC.

Zadania

1*1. Należy' oszacować żywotność (w godzinach świecenia) wyprodukowanej partii świetlówek. Wiadomo, że czas świecenia świetlówek ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym u=120 godzin. Wyloso-