095(1)

421. W jakich punktach paraboli y — ] 2 x² promień krzywizny równa się jedności?

Rozwiązanie. Wyznaczamy pochodne y’ = 2 j 2 x, y" — 2 | 2 i promień krzywizny paraboli w dowolnym jej punkcie, korzystając ze wzoru (1). Mamy

_R(x) _ H±**L

2\fl

Podstawiając R(x) = 1 otrzymamy odcięte szukanych punktów: 2 |/2 =

±    -    i

= (1 -|-8.*²) ’ ; (21^2)³ = 1+8.*²; 8x² - 1: ,v - i —^•

2 \ 2

422. W którym punkcie krzywa v — e^x ma największą krzywiznę? Rozwiązanie. Wyznaczamy pochodne y = y" = e^x oraz krzywiznę danej krzywej w dowolnym punkcie

K(x) =

e

X

(l + c^2x)

£

2

Następnie szukamy największej wartości funkcji K(x), określonej i ciągłej na całej osi liczbowej. Mamy

K'(x) = £2^5-

(l+e²*)¹

Pochodna ta równa się zeru, gdy 1—2e^lx — 0, czyli tylko w jednym pun-In 2

kcie ,vo = —    ■ Wyznaczając znaki K'(x) na lewo i na prawo od tego

punktu krytycznego:    —10) > 0, K'(0) < 0, ustalamy, że jest to punkt

maksimum funkcji K(x). Poniew aż x₀ jest jedynym punktem ekstremalnym funkcji K(x) ciągłej w całym przedziale (— oo, od), więc w punkcie tym funkcja osiąga największą ze sw'ych wartości. Szukanym punktem jest

punkt ( —^ln?², ~2~j» jego odciętą obliczono przez podstawienie do

wyjściowego wyrażenia wyznaczonej odciętej.

423. Napisać równania ewolut krzywych: 1) .t² = 2(1—y), 2) x = acost, y = ósin t i narysować krzywe i ich ewoluty.

Rozwiązanie: 1) Z równania paraboli znajdujemy pochodne / = —x i y" = — 1, a ze wzorów (2) znajdujemy współrzędne dowolnego punktu ewoluty

X = -x³

X = X

Y = y-

i+0')²

l + x²

Są to równania parametryczne ewoluty. Rugując z tych równań parametr x otrzymamy 27A'² = —87³, czyli równanie paraboli półsześciennej. Daną parabolę i jej ewolutę przedstawiono na rys. 90.

2) Z równań elipsy wyznaczamy pochodne x = —osin/, x = —ccosr, y = bcost, y = —Z? sin/ i ze wzorów (2), po uproszczeniu, otrzymamy równania parametryczne ewoluty elipsy

Y —

t;

c² = a²—b^z

c , — cos³/, a

Elipsę i jej ewolutę przedstawiono na rys. 91.

Wyznaczyć promień krzywizny krzywych:

424.    x-y — 4 w punkcie (2. 2) i |8, J

425.    y = e~^xl w punkcie przecięcia się z osią Oy

426.    .v = a(t— sin/), y — a(l —cos/) w punkcie, w którym t = n

193

13 Metody rozwiązywania zadań