105(1)

Całkę /1 przekształcamy do postaci wzorów 2 i 9

Ostatecznie otrzymamy

_r _ , , , 1 ,    2    1 ,

l— C~x²-\-x-1—- ln x — —I —-In * o    3    2

496. Obliczyć całki:

_dx__

i/ jc²—4x—3

(3x- 5 )dx ]9-h6x-3x²

Rozwiązanie: l)Po sprowadzeniu trójmianu do postaci kanonicznej x²—4x—3 = (a:—2)²—7 podstawiamy d(x—2) zamiast dx i całkujemy

J

dx

| x²— 4*—3

I

d(x-2) _

\/'{x-2f^l

ln x-2 + \ (x-2)²-7 +C

skorzystaliśmy ze wzoru 11, dla u = x—2, a = —7.

2) Sprowadzamy trójmian do postaci kanonicznej 9+6*—3^ =

= — 3(*²—2*—3) = — 3[(*— l)²—4] = 3[4--(*— l)²] i wprowadzamy nową zmienną z = x— 1. Otrzymamy wówczas dx — dz oraz

(3*—5 )dx +9+6*—3*²

, _L    '

]/3 J \ 4—z²

Otrzymaną całkę przedstawiamy jako różnicę dwóch całek

3 f zdz 2 _r dz_ _    2

^_+T~ +4-7^{2 _}yT J V⁴-^-?    ³ yT ²

i obliczamy je z osobna.

Pierwszą całkę obliczamy ze wzoru 1, odpowiednio ją przekształcając.

W tym celu wyrażenie podcałkowe mnożymy i dzielimy przez —2 i podstawiając d(4—z²) zamiast —2zdz, otrzymamy

Drugą całkę znajdujemy ze wzoru 10, dla u = z, a = 2; mamy

Podstawiając znalezione całki /, i 1₂ oraz wracając do zmiennej x, otrzymamy

--— arcsin ' —~

V 3    2

I— C— l/3(4—z²)--- arcsin^- = C—\/9^Jr6x—3x² —

497. Za pomocą wzoru / udv — uv—j vdu na całkowanie przez części (§ 4) obliczyć całki:

A) f]/(²+bdl    B) jy_a²- fdt

a następnie wykorzystując je jako gotowe wzory obliczyć całki:

Rozwiązania: A) Biorąc przy całkowaniu przez.części u — ]/1²- b,

dv = dl, otrzymamy du = -^1— oraz v = t, czyli

Vt²+b

/= | j/V-fbdt — tl/p+b— f —7_i=-dt

J    J ]/t²+b

Dodając i odejmując w liczniku funkcji podcałkowej stałą b w ostatniej całce, przedstawiamy ją w postaci dwóch całek

213