10 (52)

203

Zadania

|g'(t)l² = a²+X²(b+acost)²

13.    Niech f będzie odwzorowaniem różniczkowalnym z R¹ do R¹, takim, że |f(r)| = 1 dla dowolnego t. Wykazać, źe f(/)f(f) = 0. Zinterpretować ten wynik geometrycznie.

14.    Niech /(O,0) = 0 oraz

X*

/(*. y) =    J^eśli (*>y) *

a)    Udowodnić, że D,/i D₂/są funkcjami ograniczonymi w R² (stąd, że/jest ciągła).

b)    Niech u będzie wektorem jednostkowym w R². Wykazać, że istnieje pochodna kierunkowa (£)u/)(0,0) i że jej wartość bezwzględna wynosi co najwyżej 1.

c)    Niech y będzie odwzorowaniem różniczkowalnym przestrzeni R^l w przestrzeń R² (innymi słowy, y jest krzywą różniczkowalną w R²), przy czym y(0) = (0,0) i |y'(0)| > 0. Niech g(t) = /(y(t)); udowodnić, że funkcja g jest różniczkowalna dla każdego te R^l.

Udowodnić, że jeżeli y e    to g e V.

d)    Wykazać, że pomimo tego funkcja / nie jest różniczkowalna w punkcie (0,0).

Wskazówka. Nie zachodzi wzór (40).

15.    Niech /(0,0) = 0 i niech

4x⁴V²

/(x, y) = x²+y²-2x²y-^_i+yp, jeśli (x,y) / (0,0).

a)    Wykazać, że dla (x, y) e R² zachodzi 4x⁴y² < (x⁴+y²)². Wywnioskować stąd, że/jest ciągła.

b)    Dla 0 < 0 < 2x, -oo <t< +oo. określmy

gJĄ = /(f cos0, tsin0).

Wykazać, że g₀(0) = 0, g'(0) = 0, g„(0) = 0. Wynika stąd, że każda z funkcji g_e posiada przy t = 0 ścisłe minimum lokalne. Oznacza to, że ograniczenie/do każdej prostej przechodzącej przez (0,0) posiada ścisłe minimum w (0,0).

c)    Wykazać, że mimo tego punkt (0,0) nie jest punktem lokalnego minimum funkcji/, gdyż/(x, x²) = —x⁴.

16.    Wykazać, na przykładzie, że ciągłość /' w punkcie a jest konieczna jako założenie w twierdzeniu o funkcji odwrotnej nawet w przypadku n = 1: Rozpatrzyć funkcję określoną wzorami

_/(0={'⁺²'^2sin(j) ^d,a‘*°*

^ 0    dla t = 0.

Wtedy/'(0) = 1,/'jest funkcją ograniczoną na(—1,1), ale mimo to/ nie jest funkcją wzajemnie jednoznaczną na żadnym otoczeniu 0.

17.    Niech f = (/i,/₂) będzie odwzorowaniem R² W R² danym wzorami//x, >j = e*cosy,f₂(x, y) - e^xsiny.

a)    Jaki jest obraz/?

b)    Pokazać, że jakobian odwzorowania/nie jest równy 0 w żadnym punkcie R². Zatem każdy punkt R² posiada otoczenie, na którym / jest wzajemnie jednoznaczne. Niemniej jednak / nie jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym na R².

c)    Niech a = (0, jt/3), b = /(a). Niech g będzie ciągłą funkcją odwrotną do f określoną w otoczeniu b, taką, że g(b) = a. Znaleźć jawną postać g. Obliczyć f'(a) i g'(b) i sprawdzić w tym przypadku prawdziwość formuły (52).

d)    Jak wyglądają obrazy za pomocą f prostych równoległych do osi współrzędnych?

18.    Odpowiedzieć na analogiczne pytania dla odwzorowania określonego wzorami u = x²—y², v = 2xy.

19.    Pokazać, że układ równań

3x+y-z+u² =» 0, x-j’+2z+« = 0, 2x+2y-3z+2« =* 0

może być rozwiązany względem x, y, u w zależności od z} względem x, z, u w zależności od y, względem y, z, u w zależności od x, ale nie może być rozw iązany względem x, y, z w zależności od u.

20.    Przyjmując » =    twierdzeniu o funkcji zadanej niejawnie, zinterpretować je (oraz jego dowód)

graficznie.