245 (48)

B&lETOPA ELEMENTU SKOSlCZONHOO 10 J (245

otrzymujemy z zadania (10.109) biorąc zamiast (Q) i L²(Q) dowolne przestrzenie unormowane V (D) i H (£1) takie, że V <= II. Natomiast konkretny formę

2

dwuliniową JT (/>,*/, D,v) zastępujemy formą a (t; u, v), zależną jeszcze od para

metru /. Zadanie ogólne przyjmie wtedy postać:

wyznaczyć taką funkcję u (x, i), żc u (• /,) e V(Q) dla t e (0. T], jest ciągła wraz z pierwszą pochodną względem i oraz

(10.110)

gdzie «o e H (fl), a f (x, t) jest funkcją ciągłą względem r i dla każdego / e [0, T\ jest elementem przestrzeni H (Q), (•, •)_n jest iloczynem skalarnym w H.

Dla zadania (10.110) rozpatrzymy dwie rodziny metod Galerkina, tzw. ciągłych i dyskretnych (różnicowych) względem t. Niech V„ będzie /n-wymiarową podprzestrzenią przestrzeni V, m = 1,2,.... Zadanie przybliżone w metodzie Galerkina ciągłej względem t zastosowanej do zadania (10.110) ma następującą postać :

wyznaczyć funkcję U (.v, i), taką żc U (■, /) e V_m dla każdego t e [0, 7], oraz

(10.111)

Widzimy, że zadanie (10.111) powstało z zadania (10.110) przez zastąpienie przestrzeni V (na ogól nieskończenie wymiarowej), jej podprzesirzcniami -wymiarowymi V_m. Zadanie (10.111), po ustaleniu bazy w V_m, sprowadza się do układu równań różniczkowych zwyczajnych z warunkami początkowymi tj. do zagadnienia początkowego. Wyprowadzimy teraz to zagadnienie. Niech funkcje i = 1,.... w, będą bazą w V„, tzn.

Rozwiązania U (x, i) będziemy poszukiwać w postaci

n

Jadzie funkcje ę_;(/) zmiennej i należy wyznaczyć.

Podstawiając rozwinięcie funkcji U (x, /) do (10.111), kładąc u = q>_} i korzystając z własności iloczynu skalarnego i formy a U; u. v), otrzymujemy

ni.

Sdzie / =