237 (48)

IggfOPA ELEMENTU SKOŃCZONEGO 10 3/237

UWAGA 10.12

Nałożenie, że funkcja A.y₂) n:'c zależy od x_t, można osłabić w pewnych sytuacjach, np. gdy c O) > 0. gdzie c₀ jest dostatecznie duże (por. z.tw. 10.1 !).■

Przechodzimy do konstrukcji MES. Rozpatrzymy dwie rodziny metod, pierwszą przy podziale fi na elementy trójkątne, drugą na elementy prostokątne. Rozpoczniemy od pierwszej.

Zakładamy dalej, że fi jest wielokątem. Obszar ten dzielimy na m_h trójkątów (elementów trójkątnych) e, tak, aby

(1)    U«, = £i

i-i

(2)    dla i i- j trójkąty e, i e_} albo nie przecinały się (wspólna ich część jest pusta) albo miały wspólny wierzchołek lub bok (zob. rys. 10.12).

Przykład podziału nie spełniającego warunku (2) jest pokazany na rys. 10.13. Podział ten będziemy liczbowo charakteryzować następująco. Niech A, ozpacza najdłuższy bok trójkąta e_h zaś h - max Dalej będziemy rozważać rodzinę

r

podziałów charakteryzowaną ciągiem {A}, dążącym do zera, co oznacza, że liczba trókątów m_h dąży do nieskończoności gdy A dąży do zera. Przestrzeń elementu skończonego V^lu^kl definiujemy następująco:

^vk' «= {f:u e C (fi) , o|_ł._ł e P_k{e£, i = 1,.... m„, v (x) = 0, X6 ćfi}

gdzie P\(e,) oznacza zbiór wielomianów zmiennych x_lt x₂ określonych w c\ stopnia nie waszego niż k.

^ definicji wynika, że c Ił^. Możemy więc określić zadania przybliżone ^w WPS dla zadania (10.105). Mają one postać wyznaczyć taką funkcję u_ke yjc

a (u„, c) = / (_V), veV^    (10.107)

założeniach lematu 10.9 mamy zagwarantowane istnienie jednoznacznego

rozwiązania zadania (10.107) oraz przy/e L²(Q.) jego stabilność (por. z lematami ^,0-6 i 10.7).

Konstrukcja przestrzeni    jest analogiczna do przypadku jednowymiarowego (zob. p. 10.3.3). l-unkcja v g    na trójkącie c. ma być wielomianem

^;;'^tego stopnia

«*)!,,= 2 2

i-o 5    — I