229 (45)

MŁTODA elementu skończonego 10.2/229

Wektor u_h =    o wyznaczamy z układu

A_u u_ti = K

i

edzis K = Uff i ^dx +¹⁷ (0) «0 ?^:.<0)>r-o zaś (»

i

A_h = |j («D^-D^+c^_ię>_;)dx}^_ai0 o

Pr7> przyjętych założeniach o współczynnikach a i c forma a (u, v) jest k-elip-tyczna i ciągła. Dowód k-eliptyczności a (</, v) jest analogiczny do dowodu lematu 10.8, bowiem nierówność Friederichsa (10.91) jest prawdziwa również dla funkcji zerujących się tylko w jednym punkcie brzegowym (w przypadku jednowymiarowym). Wynika stąd. że zadanie przybliżone ma jednoznaczne rozwiązanie i jest stabilne (por. z lematami 10.6 i 10.7).

Twierdzenie 10.22

Jeśli rozwiązanie u zadania (10.98) należy do C²[0, /], to |u—t/J:i ^ Mh

gdzie u_h jest rozwiązaniem przybliżonym, zaś \1 stałą niezależną od k.    ■

Dowód tego twierdzenia jest taki sam jak twierdzenia 10.21.

Omówimy teraz w skrócie inne warianty MFS dla zadania (10.95). Utrzymujemy podział odcinka [0, /] na elementy e_Ł, i — 0, 1,m. Uogólnieniem przestrzeni jest następująca przestrzeń KJ^fc):

V'* = {o: ieC [0, /j, v\_Ct e P*(e.) , i = 0, ..., m; t> (0) = c (I) = 0}

gdzie F_k(ei) jest zbiorem wielomianów zmiennej x stopnia nic większego niż k określonych na elemencie e_t. Jest to przestrzeń funkcji ciągłych, które odcinkami są wielomianami k-te?o stopnia, i zerują się przy x = 0 i x = 1. Z definicji przestrzeń cz H*. Przyjmując w zadaniu (10.96), zamiast V_k przestrzeń otrzymujemy dla zadania (10.95) rodzinę MFS charakteryzowaną wielkością k. Funkcja v e V<^ki (0. i) rozpatrywana na e, należy do P_k(e-X a więc ma postać

”(*)],, = no¹^+«i°-x^R“^,+ ...

tżo jednoznacznego określenia wielomianu na elemencie e, wybieramy różne punkty Q?pęe_it /=]...., s, 4^&+l, które nazywamy węzłami elementu. żądamy, aby v |_c lub c|^ i pochodne wielomianu v do odpowiedniego rzędu przyjmowały w tych punktach zadane wartości. W pierwszym przypadku Vf** Jest tzw. przestrzenią Lagrange'owskąelementu skończonego, w drugim — Hermi-^!e °wska. Zadane wartości funkcji v i jej pochodnych w węzłach nazywamy Parametrami węzłowymi.

Pytanie, które się tutaj nasuwa jest następujące: czym kierować sic przy wyborze węzłów Q'P na elemencie e_i i jakie zadawać w nich parametry? Przede wszystkim należy pamiętać, by

(1) parametry węzłowe jednoznacznie określały funkcję u na e_if i = 0,..., m,