247 (50)

5 jJFTODA elementu skończonego 10.3 .3/247

metodami przybliżonymi. Co prawda możemy wypisać explicite w-zór na rozwiązanie <*: (t) zagadnienia (10.112). Ma ono postać

«(0 = Jf(l)«(0).+y(r)j X-\z)Uz)Az

O

gdzie B = C~‘A (/), 6Xfdt = - BX, f_m = C~%

Wzór ten w przypadku zmiennych współczynników (względem r) jest w zasadzie bezużyteczny. Gdy £ i f_n nie zależą od /, to przyjmuje on postać

O

i U) =/;+exp(-/»)(f(0)-/j.    = JÓ

* = 0

Jeśli fi = fi* > 0. to wzór ten stanowi podstawę konstrukcji przybliżonych metod wyznaczenia £ (t). Do tego celu wykorzystuje się tzw. aproksymacje wymierne Padś lub Csebyszewa. Z grubs/a biorąc polegają one na aproksymacji e~^x wielomianami wymiernymi. Tego podejścia nie będziemy tutaj omawiać. Czytelników zainteresow anych tymi metodami odsyłamy do literatury (zob. np. książkę [118]).

Zagadnienie Cauchv’ego (10.112) możemy rozwiązywać metodami klasycznymi jedno- lub wiełopunktowymi, z którymi zapoznaliśmy się w p. 5.3. Należy jednak stosować je bardzo ostrożnie, gdyż nic zawsze są stabilne. Powodem tego jest zlc uwarunkowanie macierzy' B = C~¹A. Sprawia ono, żc niektóre metody klasyczne są stabilne przy warunku na ogół trudnym do spełnienia w praktyce. Na przykład w metodzie Rungego-Kutty czwartego rzędu dla zadania (10.113) krok t podziału po i powienien spełniać warunek zihr < 3 (wskaźnik uwarunkowania macierzy fi = C~'A jest równy 4jh²). Branie małego kroku z, przy ktÓTym spełniony jest ten warunek, powoduje, że koszt wyznaczenia rozwiązania jest bardzo duży. Poszukuje się wiec bezw arunkowo stabilnych metod, bez ograniczeń na stosunek kroków z i h. Najbardziej przydatne, również w przedziale czasowym [0, co), są tzw. A-stabilne metody zdefiniowane w p. 5.6. Są one jednak rzędu nic wyższego niż 2, jak udowodnił Dahląuist w książce [17].

Taką metodę skonstruujemy dalej stosując aproksymację różnicową z p. 10.3. Niech co_t będzie siatką na [0, 2’] postaci o>. = {t:i — nz , n = 0. ...» N , Nr = 7}

Przyjmiemy oznaczenia v"(x) = v(x,nz). e* - (tf ¹ — vⁿ)jz.

Zagadnienie (10.112) ap reksy mu jemy następującym schematem różnicowym

(10.114)

Ci7+ 4-^((« + 0.5)r)(<”¹¹ +{”) =/((n+0.5)t)

J⁰ * «0*> ^^esl to tzw. schemat Cranka-Nicolsona, którego rząd aproksymacji wynosi dwa ⁽ '^v^ględcm (). Można pokazać, że schemat ten jest bezwarunkowo stabilny, jeśli ^a (t- i_fj f) jest V-eliptyczna dla /e[0. 7 J. Założenie to zresztą można osłabić.

Schemat (10.114) rozwiązujemy rekunencyjnie. Obliczamy $"^+: z równania Wykorzystując to, żc ę' jest już obliczone; przy n - I korzystamy z warunku