221 (47)

MI7TODA elementu skończonego 10

jeśli za v przyjmiemy

N,.Nj i.}-1

Można udowodnię (por. z pracą [76]). sir. 276), źe jeśli u e H² n H#, to E*|!i<(M/«¹'^a)IMa. ^m = ^iV, ^

czyli

iji<^— u_m |, <(Af//n^1#a) ||a||₂ gdzie Af jesl stałą dodatnią niezależną od w.

Dodajmy, że błąd metody w normie || • '<> jest wielkością rzędu /u^-1. Przy u e U'\ mamy tylko zbieżność w normie fj -||_f, bez oszacowania błędu względem m.

Zastanówmy się nad strukturą i własnościami macierzy A_m układu (10.89). Przedstawmy ją w postaci A_M = A^[i)+A⁽⁰\ gdzie

A'°> = j fc(3t)ęi_u9»„dnj, A'¹¹ - A_m-A'”

ii

Bezpośrednio sprawdzamy, że macierz A^tli jest diagonalna o współczynnikach na przekątnej (i = p, J = ą) równych

a²

4

/ £ ^ll,< V,j)‘    =

fi 1-1 -Natomiast macierz w ogólnym przypadku jest macierzą pełną. Macierz A jest symetryczna i dodatnio określona, jeśli c (a*) > 0.

Oceńmy koszt wyznaczenia układu (10.89) i jego rozwiązania. Zauważmy. ż_ obliczenie współczynników tego układu, t/n. elementów macierzy A^<0' (macierz «4^<;> jest juz policzona) i prawej strony wymaga obliczenia -^,r A-m całek

^w obszarze O. Na ogół liczymy je numerycznie stosując jakaś kwadraturę (por. rozdział 4). Koszt takiego postępowania np. przy zastosowaniu złożonej kwadratury prostokątów przy podziale Cl na m części wynosi O (nr) działań arytmetycznych. Zastanówmy się teraz nad kosztem rozwiązania układu (10.89). Macierz A jest najczęściej pełną, jeśli e(.v) # 0. Zastosowanie algorytmu Cholesky’cgo-Banachie-wicza kosztuje rzędu m^:’ działań arytmetycznych (w zasadzie tańszych bezpośred-mch algorytmów nie znamy).    n

Powyższa analiza ma świadczyć o nieprzydatności klasycznej metody ^alerkina do rozwiązywania zagadnień różniczkowych, oczywiście poza szczególnymi przypadkami np. gdy w rozpartywanym zadaniu c(*) = 0 a całki J /^i/dfż dają się tanio policzyć. W tym przypadku macierz A jest diagonalna,

bowiem za funkcje bazowe przyjęliśmy funkcje własne operatora - A, które ²nainv dla szczególnych postaci obszaru Q. Na ogół ze względu na kształt obszaru ³ postać równania takich funkcji nie potrafimy podać explicite. Dodajmy jeszcze.