10 (74)

225

Sympleksy i łańcuchy

Sympleks a nazywamy zorientowanym, żeby podkreślić konieczność uwzględniania porządku wierzchołków p_0>..., p_k. Jeśli

(79)    a = [>,_o) Pi.....p,,],

gdzie {i₀,    i*} jest permutacją zbioru uporządkowanego {0, 1,..., k], to przyjmujemy

zapis

(80)    <r = s(i₀,

gdzie s jest funkcją określoną w definicji 9.33. Zatem a = ± er, zależnie od tego, która z dwóch równości s = 1, s = -1 jest spełniona. Ściśle mówiąc, przyjmując (75) i (76) za definicję sympleksu a, możemy napisać o = o tylko wtedy, gdy i₀ = 0,..., i_k = k, nawet jeśli s(i₀,... 4) = = 1, a więc mamy tu do czynienia nie z równością, ale z relacją równoważności. Jednak dla naszych celów ten zapis jest usprawiedliwiony, na mocy twierdzenia 10.27.

Jeśli o = to (zgodnie z przyjętą wyżej umową) i jeśli e = 1, to mówimy, że o i o mają orientację zgodną; jeśli e = — 1, to mówimy, że a i o mają orientacje przeciwne. Zaznaczmy, że nie definiujemy pojęcia „orientacja sympleksu”. To, co zostało zdefiniowane, jest relacją między parami sympleksów, posiadających ten sam zbiór wierzchołków, tj. własnością dwóch takich sympleksów „posiadania zgodnej orientacji”.

Istnieje jednak jedna sytuacja, kiedy możemy w sposób naturalny określić orientację sympleksu. Zachodzi to wtedy, gdy n = k oraz wektory p_f—p₀ (1 ^ i < k) są liniowo niezależne. Wtedy pojawiające się w (78) przekształcenie liniowe A jest odwracalne, i wobec tego jego wyznacznik (równy jakobianowi o) nie jest równy 0. Powiemy, że o jest dodatnio (ujemnie) zorientowany, jeżeli óelA jest dodatni (ujemny). W szczególności sympleks [0, e„..., ej w R^k dany przez odwzorowanie identycznościowe ma dodatnią orientację.

Dotychczas zakładaliśmy, żć k > 1. Zorientowanym 0-sympleksem jest punkt, któremu przyporządkowany został znak. Piszemy o = + p₀ lub o = - p₀. Jeśli o — ep₀ (e = ± 1) i jeśli /jest 0-formą (tj. funkcją rzeczywistą), to definiujemy

]/= e/(Po)-

<r

10.27. TWIERDZENIE. Jeżeli S jest prostoliniowym k-sympleksem zorientowanym w zbiorze otwartym E <= R" i jeżeli o = eo, to

(81)    jco = ej co

O    9

dla dowolnej k-formy (o w E.

Dowód. Jeśli k = 0, to (81) wynika z poprzedniej definicji. Będziemy zatem zakładać, że k > 1 i że o jest sympleksem (75).

Załóżmy, że 1 < j < k,ie o powstał z o przez przestawienie wierzchołków p₀ i Pj. Wtedy e = —1 i

or(u)=p_y+Bu (u e Q\

15 - Podstawy analizy matematycznej