110(1)

Rozwiązanie: 1) Rozkładamy wymierny ułamek właściwy, znajdujący się pod znakiem całki, na ułamki proste. W myśl podanej reguły:

a)    rozkładamy mianownik na czynniki proste

**+4^+4* = x (pć+4x+4) = x (xĄ-2)¹

b)    piszemy schemat rozkładu funkcji podcałkowej na sumę ułamków prostych

3x¹-h8 _ A B__C_

x(x+2)¹ x ' x-]-2 ' (*+2)¹

c)    mnożąc tę równość obustronnie przez x(x+2)¹ pozbywamy się mianowników

3^+8 = A(x-t-2)¹-\-Bx (x+2)+Cx =

= (A-\~B)x?-\~ (4A-\-2B-\-C) jc-f-4.4

d)    przyrównujemy współczynniki przy jednakowych potęgach x po obu stronach otrzymanej tożsamości, co prowadzi do układu równań

A+B = 3,    4A+2B+C = 0,    4,4 = 8

e)    rozwiązujemy ten układ: A = 2, B = 1, C = —10 i podstawiamy znalezione wartości stałych A, B, C do schematu rozkładu

3^+8    2_ _    1___10

x(x+2)¹    x x+2    (.*-)-2)¹

Otrzymaną sumę ułamków prostych podstawiamy pod znak całki i każdy ze składników całkujemy osobno. Otrzymamy

r (3x¹+8)dx ₌ rr_2_    1

J xⁱ+4x^2jr4x    J [ x    x+2

¹⁰ .1 (x^Jr2)¹\

dx —

=¹f§+j

= 2 ln 1 x l+ln | .v+2

10

x+2

+ C

a) .r⁴-^*² = X²- (a^+3)

_M 1    _ A B , Cx + D

’ xV+3) x ^h X² ^ x*+3

c)    1 = ,le(x²+3)+J?(x^}-3)+(C.x+2>)-x^l =

= (A+Qx'+(JB+D)ć+3Ax+2B

d)    A+C = O, 5+Z> = 0_;    3,4 = 0,    35=1

1 - - _ 1

e) A = O, 5 =

3"’

C = O, D = -

1    J_

3JC²

3 ’ 1

a więc

x²(x²+3) 3jr 3 (.r² + 3)

Po podstawieniu pod całkę i scalkowaniu, otrzymujemy

2x⁵+6x³+1

f 2x^>+6x*+l    (-i    1    \

J -?vs?- ^dx - J r+?+*?)*=

“J [^{2j( +} 3? ~3(x‘+3j]® = ²f*^dx+J.J ^>r'^dX~

i r dx ,i i

3 J x-

dx

+^{3    3}*    3 | 3    ~ y'3

arctg +C

3) Ułamek właściwy pod całką przedstawiamy jako sumę ułamków prostych:

^a)    *⁴+x = x (a-'+1) = x (x+l) (a²—x+1)

,.    x³4-4.v²—2a-+1

b)

_____₌

x(x+l) (x²—X+l)    X X+1

. Cx+D

+ ^r

X²—x+l

c)    x³-|-4x²- 2x+1 = A (,v³+1)+5a- (x²-x+I)+

+ (Cxfi))(.\^+.Y) = (A B~C)x^}+

+ (C+£-B)x²+(B+D)x+A

d)    A+BĄ-C — 1, C+P-B = 4. B f-Z) = —2, A = 1

e)    A — 1, B = — 2, C = 2, D = 0. a więc

x³-f-4.v²-2.v-i-1    1    2    2x

x

+

I-X    X X-fl ‘’x²-X + l

Po podstawieniu pod znak całki i scałkowaniu, otrzymamy

W

r x³+4x²—2x+l

x⁴+

xdx x-f 1

j _ xax

J x² x-j

dx

x

dx

x+l

j

In | x |—2 ln | x-fl | +2/.

2 1

223

1

Z ułamka niewłaściwego występującego pod. całką wyłączamy część