152(1)

2) Postępując wg planu podanego w przykł. 1, znajdujemy kolejno:

a.    u'_x — 2yz x^yz~\ u'_y = 2zx^yl\nx, u'_z = 2yx^yslnx

b.    d_xu — 2yzx^yz~'dx, dyii = 2zx^yzlnxdy, d_xu = 2yx^yz\nxdz

c. du

= 2x^yz j-

cdz\

dxĄ-z ln xdyĄ-y in xdz

3)* _a<

<3 u .u²v\uh>²—l

. J    \v\du

b. d_uq —

dv d„q =

I I

U1T I ' U²V² — 1

I U j dv

v [ u j y n²v² — 1    u\v\y ii²v²—1

. Ą,_V—/Mj1+sLgl*}

yirv*-l \ ^|«|    «|®l /

730. Obliczyć wartość różniczki zupełnej funkcji

z = arctg —

y

dla x = 1, y = 3, dx — 0,01, dy =—0,05.

Rozwiązanie. Znajdujemy pochodne cząstkowe, różniczki cząstkowe i różniczkę zupełną danej funkcji

8z _ y

8x

dz x    j xdy—ydx

iy~¥+f^>    x*+f

Podstawiając dane wartości zmiennych niezależnych x, y oraz różniczek dx i dy, których funkcją jest różniczka zupełna dz, otrzymamy

W-o.og-3 . o,qi_₌__{0 003}

l-j-9    ’

731. Obliczyć przybliżone wartości:

1) 1,08³'⁹⁶    ₂₎ jml.49- arctg 0,07

2^2,95

Rozwiązanie. Jeżeli mamy obliczyć wartość funkcji f(x, y, ..., i) w punkcie    y_x, ..., tj, a okaże się, że prościej jest obliczyć zarówno

wartość samej funkcji jak i jej pochodnych cząstkowych w pewnym punkcie M₀(x₀,y₀,..., r_u), to dla dostatecznie małych co do wartości bezwzględnej różnic jej—Xg = dx,y_l—y₀ = dy,U—to = dt można całkowity przyrost funkcji zastąpić jej różniczką zupełną

fW-AMo) xf_x(Mo)dx+f’_y(M_<))dy+ ... +j\{M₀)dt

z

i stąd wyznaczyć przybliżoną wartość funkcji wg wzoru

f(M₍) X    ;(M₀)dx+f'_y(M₀)dy+ ... -f/;(M₀)dt    (_a)

1) Liczbę 1>08^3,9S traktujemy jako _# wartość szczególną funkcji f(x y) = = f w punkcie ^(1,08; 3,96). Niech punktem pomocniczym będzie Mo( 1, 4). Otrzymujemy

= 0

/(M₀) = l⁴ = 1; f_x (M₀) = yx^y~' = 4, f'_y (M₀) = x^ylnx

= 1,08-1 = 0,08, rfy = 3,96-4 = -0,04

Podstawiając wartości te do wzoru (a), znajdujemy

1,08^3,96 a: f(M₀)+f_x (M₀)dx+f_y(M₀)dy = 1+4 • 0,08 = 1,32

2) Niech

sin 1,49 • arc tg 0,07

+²'^,5_

będzie wartością szczególną funkcji trzech

zmiennych <f (x, y, z) = 2^x sin y arc tg z w punkcie A/(—2,95; 1,49; 0,07)

i niech punktem pomocniczym będzie M₀1 — 3, oj.

Otrzymamy wtedy dx - —2,95—(—3) = 0,05; dy — 1,49—1,57 = = —0,08 ; dz — 0,07, oraz

71

(p (M₀) = 2“³ sin — arc tg 0 = 0

<P* (K) — 2* ln 2 • sin y arc tg z |

<Py (Mo) = 2* cos y arc tg z = 0

_ 2*siny

1+z²

= 2^-3

Af₀

Podstawiając wartości te do wzoru (a), dostaniemy

0,07 « 0,01

sin 1,49 • arc tg 0,07

W⁵

Wyznaczyć różniczki zupełne funkcji:

732. z — y ln 2x    733. u = sin²1 cos²x

734. v =

xy

735./(w, n, p) — e“^mcos

bn

-~y, dla x = 2, y — 1, dx = — y, dy ~ y

736. Obliczyć wartość różniczek zupełnych funkcji: l)z =

20*

307