173(1)

rzutu linii L na płaszczyznę xOy, czyli równaniem okręgu Li ograniczającego obszar D.

Aby uprościć obliczanie całki, sprowadzamy ją do współrzędnych biegunowych. Podstawiając * — pcos<p, y = psinę; i zastępując dxdy przez Qd(fdQ, otrzymamy

yT

^v=~2 J f (2-Q²)Qd<pde = y J d<p j (2p-e³)Jp =

e*il/2    ⁰    0

- 4/ [⁸’-t1² * - 4/ * 4[^łI -

(równanie okręgu x²+y² = 2 we współrzędnych biegunowych ma postać

e = ]2)-

4) Sfera    = i?² i płaszczyzny z = a i z = b ograniczają warstwę

kulistą (rys. 174). Jej objętość wynosi V — Pj-\-V_z—V₃, gdzie V_1: V₂ i V₃— objętości pionowych brył cylindrycznych

V_x = nOA²b, V₃ = ;iOB²a, V₂ = Jj    dxdy

D

gdzie D — pierścień kołowy: O A² < x^2jr y² < OB².

Rys. 174

Promienie r_t = O A i r₂ = OB wyznaczamy z równań cylindrów pionowych, rzutujących okręgi / i L na płaszczyznę xOy.

Eliminując z równania sfery i płaszczyzny z — b zmienną z, otrzymamy równanie xr-\-y²    R²—b², skąd O A = ] R²—b². W podobny sposób

z równania sfery i płaszczyzny z — a otrzymamy równanie x²+y² — = R² — a², skąd OB = y R²—a².

Wobec tego V_x = 7ib(R⁷—b^{1 2}), V₃ — xa(R²—a²).

Aby obliczyć całkę podwójną, określającą V₂, przechodzimy do współrzędnych biegunowych

rt

2    r 2

V₂ = J J \/R³—o²od(pdn = 4 j d<p j \R²—Q²(>do =

,    o    r,

71

r ₃-._r2 t

= - 4 [(^R2-e²)³J_r J ^d(P = ^y^-a-)

Szukana objętość warstwy kulistej wynosi więc

K = nb(R⁴—ó²)-j- -- n (b⁷—a³) - ~ia(R⁷- a²) —

= ~ [3R²(b-a)+a²-b³] =    (3R²-a²-ab-b²)

2

Dla a = 0,b = R otrzymujemy objętość półkuli V = rrił^J.

Obliczyć objętości brył ograniczonych powierzchniami:

824.    Walcem x^L-\-y² — a² i płaszczyznami x+y+z — 2a, z = 0.

825.    Płaszczyznami x+y-^srz = 2, 3x+y = 2, 3x+2y = 4, y = 0, z — 0.

y2

826.    Paraboloidą eliptyczną z =    i płaszczyznami x = ± 1,

y — ił.

•^2    ti2

827.    Płaszczyznami v-|-z = 0, z = 0 i walcem eliptycznym-^- +    = 1.

828.    Sferą x²+y²+z² = 2a² i walcem x²+y² = a²¹⁾.

829.    Płaszczyznami x+z = 2, z = 2 i walcem x²-f-y² = 4¹*.

830.    Stożkiem x²+y² = z², walcem x²+y² = 2y i płaszczyzną z = 0^!).

§ 5. Masa, środek ciężkości i momenty bezwładności

Niech dana będzie płaska figura materialna (płytka). Jeśli przez ó{M) oznaczymy gęstość powierzchniową²* masy w punkcie M, to masa m,

349

1

}) W zadaniu tym przy obliczaniu całki podwójnej dogodnie jest przejść do współrzędnych biegunowych.

2

) Gęstość powierzchniowa masy w punkcie M płytki jest to granica stosunku masy

3

elementu płytki zawierającego punkt M do pola tego elementu, gdy element ten ściąga się

4

do punktu M.