194(1)

Jeśli więc powierzchnia a, na którą rozciąga się całka powierzchniowa ma równanie z = ę?(.v\ y), to całkę powierzchniową pierwszego typu (po płacie powierzchni) zamieniamy na podwójną (a następnie obliczamy) wg wzorów

ds = j/l-H«P*)²-|-(9^)² dxdy

f f f(x,y,z)ds = f jf [.v,y,<f (x,>■)][ 1 + (<łx)²+Wyf dxdy (1)

^ax>

gdzie a_xy oznacza jrzut obszaru a na płaszczyznę xOy.

Natomiast całkę powierzchniową drugiego typu (względem rzutów płata) zamieniamy na podwójną wg wzoru

j J f(x,y,z)dxdy = ± JJ f[x,y,<p(x,y)\dxdy    (2)

° %

Podwójny znak po prawej stronie równości wiąże się z tym, że całka występująca po lewej stronie może być rozciągnięta na dwie różne strony powierzchni a. Znak plus odpowiada całkowaniu po gónej stronie powierzchni cr (zwróconej w stronę dodatniego kierunku osi Oz), a minus — odpowiada całkowaniu po dolnej stronie powierzchni a (zwróconej w stronę ujemnego kierunku osi Oz).

Jeżeli na całej rozważanej powierzchni a zmiennej z nie można wyrazić jednoznacznie w funkcji x i y, to powierzchnię cr trzeba podzielić na części, dla których jest to możliwe, a całkę braną po takiej powierzchni obliczyć jako sumę całek rozciągniętych na części składowe.

Analogicznie oblicza się całki powierzchniowe obu rodzajów, gdy powierzchnia cr jest dana równaniem o postaci j=<?>i(x, z) albo x = ->(>’, z). Przy tym dla całek powierzchniowych drugiego typu, tak samo jak we wzorze (2), przed całką podwójną stawia się znak plus albo minus, zależnie od tego, czy całka powierzchniowa jest brana po stronie powierzchni cr zwróconej v/ dodatnim, czy też w ujemnym kierunku odpowiedniej osi układu (prostopadłej do płaszczyzny układu, na której leży obszar całkowania w całce podwójnej).

Całka powierzchniowa względem współrzędnych x, y wzięta po płacie powierzchni cylindrycznej o tworzących równoległych do osi Oz jest. równa zeru. W analogicznych przypadkach równe zeru są też całki powierzchniowe względem współrzędnych x, z albo y, z.

Jeżeli cr jest powierzchnią zamkniętą, to całkę po zewnętrznej stronie powierzchni oznaczamy symbolem J| a po wewnętrznej symbolem J|

-fcr    —a

Całkę po zamkniętej powierzchni cr można przekształcić na całkę potrójną po obszarze G, ograniczonym tą powierzchnią, i na odwrót, za pomocą wzoru Gaussa-Ostrogradskiego

|| Pdydz^JrQdxdz^JrRdxdy = f j J (P'_x^JrQy^JrK)dxdydz (3)

przy czym funkcje P(x,y,z), Q(x, y, z), R(x,y,z) wraz z pochodnymi pierwszego rzędu powinny być ciągłe w obszarze G.

Związek między całką po niezamkniętej powierzchni o i całką krzywoliniową po konturze /, ograniczającym tę powierzchnię, dany jest wzorem Stokesa

f / (*; - <2.0 dy dz+(PI - K) dxdz+(Q'_x- P'_y) dx dy =

a

= J PdxĄ-QdyĄ-Rdz    (4)

i

przy czym funkcje P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) wraz z pochodnymi pierwszego rzędu powinny być ciągłe, w pewnym obszarze G zawierającym o.

Kierunek obiegu konturu / i strona powierzchni cr, po której całkujemy, związane są następującą regułą: obieg konturu l widziany od tej strony powierzchni cr, po której odbywa się całkowanie, powinien być przeciwny do ruchu wskazówek zegara^l\

Jeśli za pomocą powyższego wzoru przekształcamy całkę krzywoliniową po konturze zamkniętym na całkę powierzchniową, to jako cr można przyjąć dowolną (kawałkami-gładką) powierzchnię, rozpiętą na konturze / i pozostającą w obszarze G.

W przypadku gdy cr jest płaskim obszarem D płaszczyzny xOy (z — 0), wzór (4) upraszcza się

/ f (Q*-P'y)dxdy = / Pdx+Qdy    (5)

D    +1

Tę szczególną postać wzoru Stokesa nazywamy wzorem Greena.

’) Dokładniej: przy obchodzeniu konturu / po stronie powierzchni o, po której całkujemy, przylegająca do konturu część powierzchni o powinna znajdować się z lewej strony.

391