199(1)

Inne zastosowania całek powierzchniowych będą omówione w rozdziale następnym.

920. Obliczyć pole części powierzchni:

1)    stożka z² — 2.vy, położonej w pierwszym oktancie przestrzeni między płaszczyznami x = 2, y = 4,

2)    sfery x²+y²-\-z¹ — R², leżącej wewnątrz walca xⁱ+y² — Rx,

3)    walca .rM-.i’² = Rx, leżącej wewnątrz sfery x²-ł-y²+ź² = R². Rozwiązanie: 1) Stosujemy wzór (1). Korzystając z równania ⁵

stożka, przekształcamy całkę powierzchniową na całkę podwójną względem x i y

S = I j ds = j | | 1 Ą-tf^+iZy)² dxdy

gdzie ct_xy jest rzutem powierzchni a na płaszczyznę xOy, równym polu prostokąta O ABC (rys. 200).

Obliczając całkę podwójną, otrzymujemy

2) Dana powierzchnia¹⁵ (rys. 201) jest symetryczna względem płaszczyzn xOy i xOz\ w pierwszej ósemce przestrzeni mieści się czwarta jej część, a równanie tej właśnie części ma postać z = }/R²—x²—y² Dlatego, zgodnie ze wzorem (1), szukane pole jest równe

>) Składa się ona z górnej i dolnej podstawy bryły Vivianiego, powstałej z przenikania się walca i kuli.

Tyzzsh?

0 01 01 gdzie <Xi—półkole, ograniczone okręgiem x²+y² = i?w i osią Cbc(x’-t-

+ y² < Rx\ y > 0).

Przechodząc do współrzędnych biegunowych i całkując, man_u

n

0 o ^ R cos q>,    0 ^ cp śi

2 R coscp

S — 4R j* f    = -2R f dcp f (R²-₀²) ~ ² d(R²-_Q²) =

01

0

= 2«J

2(tf²-e²)²

Rcostp 0

d<p — 4R² I (l — sin <p)d<p — 2R²(n—2)

(o — Rcos<p — równanie biegunowe okręgu x²-\-y² — Rx).

3) Dana powierzchnia¹* (rys. 201) jest także symetryczna względem płaszczyzn xOy i xOz; w pierwszej ósemce przestrzeni mieści się czwarta

jej część (7*), o równaniu y = J Rx—xf. Dlatego, przekształcając całkę powierzchniową we wzorze (1) na całkę podwójną względem zmiennych ^x i z, otrzymamy

') Jest to boczna powierzchnia bryły Vivianiego.

26 Metody rozwiązywania zadań 401