1 (25) 2

Przestrzenie metryczne

m

zeliczalny (patrz zadanie 2). eskończone są przeliczalne.

pcw, których elementami są

(niech E składa się z ciągów ra w s_m jest równa i (lub Ó), ląg s różni się od każdego grwiście s e A, więc E jest:

Izbiorem właściwym. Stąd woim podzbiorem właści-

netodę dowodzenia nazy-¹ ciągi s_u s₂, ... ułożymy i eiementy leżące na prze-

Irzeczywistych (podstawą ■e zbiór wszystkich liczb ę w twierdzeniu 2.43.

iemy nazywali punktami, ioru X odpowiada liczba

Etrycznych są, z naszego la rzeczywista), R² (pła-

przestrzenią metryczną dinicji 2.15 są spełnione

■zestrzenią metryczną. Bwicdnio w rozdziałach

I 2.17. Definicja. Przez przedział otwarty (a; b) będziemy rozumieli zbiór wszystkich liczb ■Beczywistych x takich, iea<x<b.

■ Przez przedział domknięty <a, h> będziemy rozumieli zbiór wszystkich liczb rzeczywistych ntakich, że a^x^b.

I Czasami będziemy spotykali przedziały półotwarte ^ft) i (& pierwszy składa się ze ^■ppstkich x takićh, że aŚTś.b, drugi ze Wszystkich ii takich, że a<x śb.

k Jeżeli a, < b-, dla i— 1,..., k, to zbiór wszystkich punktów x = (xj,..., x_fc) w R^k, których B^młrzędne spełniają nierówności a₍-<x,h,- (1</^k), nazywamy kostką k-wymiarową. B więc kostka jednowymiarowa jest odcinkiem, dwuwymiarowa — prostokątem itd.

L Jeśli x e R^k i r > 0, to kulą B otwartą (lub domkniętą) o środku w punkcie x i promieniu r z definicji zbiór wszystkich y e R^k takich, że |y—x| < r (lub|y—xj < / ). w Zbiór E ę: R* nazywamy wypukłym, jeżeli

Ax +(!-*% e £

każdego x e E, y e E i 0 < ż < 1.

Na przykład kula jest wypukła, ponieważidla ty—x|    0 < 2 < 1 zachodzi

r |iy+(l-A)z-x| = |2(y-x)+ (1-ż) (z— x)| < A |y—x|-ł- (1—A) |z— x| < źr+(l-% = r. Ben dowód można także zastosować dla kuli domkniętej. Łatwo jest wykazać, że kostki Bnrymiarowe są wypukłe.

2.18. DEFINICJA.-Niech X będzie przestrzenią metryczną. Wszystkie występujące poniżej ■ukty i zbiory są elementami i podzbiorami przestrzeni X. f a) Otoczeniem punktu p nazywamy zbiór N, (p) składający się ze wszystkich punktów q takich, że d (p, q) < r. Liczbę r nazywamy promieniem otoczenia N,(p).

[ b) Punkt p nazywamy punktem skupienia zbioru £, jeśli każde otoczenie punktu p zawiera | punkt q # p taki, ieqe E.

* c) Jeśli peE i p nie jest punktem skupienia zbioru E, to p nazywamy punktem izolowanym [zbioru £.

I d) Zbiór £ jest domknięty, jeśli każdy punkt skupienia zbioru £ należy do £.

e) Punkt p nazywamy punktem wewnętrznym zbioru £, jeśli ma otoczenie N takie, żeAf c £. 0 Zbiór £ jest otwarty, jeśli każdy punkt zbioru £ jest jego punktem wewnętrznym, g) Dopełnieniem zbioru £ (oznaczamy je E^e) jest zbiór wszystkich punktów p e X takich, icptE.    ■

f h) Zbiór £ jest doskonały, jeśli jest domknięty i jeśli każdy punkt zbioru £ jest jego punktem skupienia.

i)    Zbiór £ jest ograniczony, jeśli istnieje taka liczba M i taki punkt q e X, że jest spełniony warunek d (p, q) < M dla wszystkich p e E,

j)    Zbiór £ jest gęsty w X, jeśli każdy punkt zbioru X jest albo punktem skupienia zbioru E, albo należy do £ (albo jedno i drugie).

Zauważmy, żę.otoczeniami w £¹ są przedziały, a otoczeniami w R² są wnętrza okręgów. 2.19. Twierdzenie. Każde otoczenie jest zbiorem otwartym.

Dowód. Rozpatrzmy otoczenie £ — N_r(p). Niech q będzie pewnym punktem z £. Istnieje liczba rzeczywista dodatnia h taka, że