1 (29)

35

li punktu x o promieniu

h N będzie otoczeniem H i zbiór H jest otwarty.

ałożenie skończoności [fa !/«)(« = 1,2,3,...).

= 0 G„. G składa się

»=I

ioran R¹.

nie musi być otwarty, si być domknięta.

waz £' oznacza zbiór EkjE*.

tac

ir X zawierającym E.

£, ani jego punktem pełnienie E jest więc

i £ jest domknięty, to

bec tego F => E.

wistych ograniczonym

ięty.

fu 1.9.

owolnej liczby h > 0 tu y- h byłby kresem

mą. Zdanie, że £ jest ana liczba dodatnia r ożyliśmy już jednak, £ określać otwartość

Przestrzenie metryczne

■■gfedem Y. Aby być całkowicie precyzyjnymi powiemy więc, że £ jest otwarty względem Y, ■Ach z każdym pe E możemy związaćr > 0 tak, że q e £,jeżeli tylkod(p,q) < rorazqeY. ■krijJad 2.21 g) pokazuje, że zbiór może być otwarty względem Y nie będąc otwartym fcśzbiorem X. Między tymi dwoma pojęciami istnieje prosty związek, który obecnie sformułujemy.

230. TWIERDZENIE. Niech Y <= X. Podzbiór E zbioru Y jest otwarty względem Y wtedy UfUo wtedy, gdy E = Yr\G dla pewnego otwartego podzbioru G przestrzeni X.

Dowód. Przypuśćmy, że £ jest otwarty względem Y. Dla każdego pe E istnieje liczba Ibdatnia r_p taka, że warunki d(p, q) < r_p,qe Y implikują q e E. Niech V_p będzie zbiorem •szyi: kich qeX spełniających warunek d(p, q) < r_p, przyjmijmy

G = U V_p.

peE

Wówczas z twierdzeń 2.19,2.24 wynika, że G jest otwartym podzbiorem przestrzeni X.

Ponieważ p e V_p dla wszystkich p 6 £, jest więc oczywiste, że £ <= GnY, Zgodnie z wyborem V_p mamy V_pr\Yc: £ dla każdego pe E, tak że GnYc £. Tak więc £ = GnY i udowodniliśmy połowę twierdzenia.

Odwrotnie, jeśli zbiór G jest otwarty w X i £ = GnY, to dla każdego p e E istnieje ©toczenie V_p c G. Wówczas V_pnY <= £, a więc zbiór £ jest otwarty względem Y.

Zbiory zwarte

231.    DEFINICJA. Pokryciem otwartym zbioru £ w przestrzeni metrycznej X nazywamy rodzinę {Gj podzbiorów otwartych przestrzeni X spełniających warunek £ c U G_a.

a

232.    DEFINICJA. Podzbiór K przestrzeni metrycznej X nazywamy zwartym, jeśli każde pokrycie otwarte zbioru K zawiera podpokrycie skończone.

Mówiąc ściślej, żądanie polega na tym, że jeśli {Gj jest otwartym pokryciem zbioru K, to istnieje skończona ilość wskaźników «_x,..., a„ takich, że

K c G_xu... uG_a>. .

Pojęcie zwartości ma duże znaczenie w analizie, szczególnie w związku z ciągłością (rozdział 4).

Jest rzeczą oczywistą, że każdy zbiór skończony jest zwarty. Istnienie szerokiej klasy zbiorów zwartych nieskończonych w R^k jest konsekwencją twierdzenia 2.41.

Wcześniej zauważyliśmy (uwaga 2.29), że jeśli £ c Y cz X, to £ może być otwarty względem Y, nie będąc otwarty względem X. To, czy zbiór £ jest otwarty, zależy wobec tego od przestrzeni, w której jest zanurzony.

Jednak zwartość, jak później zauważymy, jest pojęciem bardzo wygodnym. Aby sformułować następne twierdzenie, będziemy na razie mówić, że zbiór K jest zwarty względem X, jeśli są spełnione warunki definicji 2.32.

3*