1tom070

4. INFORMATYKA 142

Ze wzoru (4.4) oblicza się błąd bezwzględny objętości walca

AF= R²h&K + 2nRhAR-rnR²Ah = 4,84-1,21 0,01 + 2 *3,14 •2,2* 1,21 0,01 +3,14 -4,84-0,1 = = 0,0585644-0,1671736 + 0,151976 = 0,3777136

Pochodne cząstkowe funkcji ln V= \nizR²h wynoszą

d\t\V _    1 c\nV _    2_    d\nV _    1

CK    n    ’ cR    R' ch    h

Błąd względny objętości walca

12 1 12 1 6V= -A n+ —AR+_TAh = 0,01 —— + — + —- = 0,02054 k R h    3,14    2,2    1.21

Błędy działań arytmetycznych. Ze wzorów (4.4) i (4.5) oblicza się błędy działań arytmetycznych. W przypadku dodawania y = x₁+x₂+x₃-t-...+x,_I, gdy (x, > 0), otrzymuje się

Ay = i Ax_;

ł=l

"1    ⁿ X-

5 y = E ^—Ax,. = £ —5x_f i y    ,= i y

Jeżeli jest spełniona nierówność m s: 8x,. < M,(i = 1,2,..., n), gdzie m, M — stałe dodatnie, to

m ^ 8y ^ M

Jeżeli y = x, — x₂, gdy {x₁ > x₂> 0), to ze wzorów (4.4) i (4.5) otrzymuje się błędy różnicy A y = Axj + Ax₂

Ax, + Ax₂ y

5y =

^X1 _K , *2 _x - —Sx_Ł + —ox₂

y y

Należy zwrócić uwagę na fakt, że w przypadku bliskich wartości x₂, x₂, błąd względny różnicy może być bardzo duży.

W przypadku mnożenia y = x₁-x₂-...-x„, gdy (x_f > 0, / = !,...,«), otrzymuje się

Ay = y Z 5x_;

i= 1

5y = Z ^8xi

i= 1

Xi

Dla ilorazu y = —, gdy (x,, x₂ > 0), błędy Ay, 8y oblicza się ze wzorów ^X2

Ay = y8x₁ +y5x₂

5y = 8xj + Sx₂

Błędy zaokrągleń. W komputerach, z uwagi na ustaloną długość słowa, liczby są zapamiętywane z określoną liczbą cyfr znaczących. Wyniki działań arytmetycznych na takich liczbach nie muszą być liczbami tej samej postaci. Na przykład iloczyn liczb 0,1114 i 0,832 o trzech cyfrach znaczących jest liczbą o sześciu cyfrach znaczących 0,094848, który w zapisie komputerowym będzie zaokrąglony do trzech cyfr znaczących.

Z reguły podczas obliczeń liczby są zaokrąglane, w wyniku tego pojawiają się biedy zaokrągleń! Przy dużej liczbie działań mogą powstać bardzo duże błędy zaokrągleń. Błędy zaokrągleń wyników działań określa się w zależności od przyjętego zapisu liczb w komputerze.

W przypadku mnożenia i dzielenia liczb staloprzecinkowych (liczb o ustalonej liczbie cyfr przed i po przecinku) wyniki tych działań są obarczone błędem bezwzględnym

zaokrąglenia równym    gdzie s oznacza ustaloną liczbę cyfr dziesiętnych po

przecinku. Wyniki dodawania i odejmowania liczb stałoprzecinkowych są dokładne.

Oprócz postaci stałoprzecinkowej liczby w komputerach mogą być zapisywane sv postaci zmiennoprzecinkowej. Liczba zmiennoprzecinkowa ma postać m ■ 10^C, gdzie cecha cjest liczbą całkowitą, a mantysa m ma s cyfr dziesiętnych (s > 0) po przecinku i dla liczb różnych od zera spełnia nierówność 0,1 sg |m| < 1. Działania dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia liczb zmiennoprzecinkowych mają wyniki obarczone błędem względnym zaokrąglenia równym 5- !0~*.

Błędy metod numerycznych. Stosowanie metod przybliżonych obliczeń jest nierozerwalnie związane z koniecznością oszacowania błędów tych przybliżeń. Generalnie nic można podać zależności pozwalającej ocenić błędy metod numerycznych. W każdej konkretnej metodzie dotyczącej pewnej grupy zagadnień błąd metody oblicza się, wykorzystując warunki, założenia i prawa rządzące danym problemem.

Należy pamiętać, że szczegółowa analiza rozwiązywanego problemu ułatwia wybór z grupy metod tematycznie równoważnych, metody dającej najdokładniejsze wyniki.

~ Interpolacja polega na przybliżeniu pewnej funkcji f(x) określonej w przedziale (a, b) na podstawie znanych wartości tej funkcji y<_i,y_l,y₂,-,y_n w punktach a₀,a₁,a₂,...,a_n (zakłada się, że a a₀ < a, < a₂ < ... < a„ sć b). Daną funkcję f(x) przybliża się jedną z funkcji F(x) pew nej klasy funkcji (F(x)} określonych w przedziale (a, b), tak dobranej, że w punktach a₀,a_l,a₂,...,a„ przyjmuje wartości y₀,y, ,y₂, ...,y„, tzn. F(a) = y₀,F(ai) = >'i,F(a₂) = y₂,...,F(aJ = y_n. Punkty a₀,a₁,a₂,...,a„ nazyw-a się węzłami interpolacji, a funkcję F(x) — funkcją interpolującą. Na funkcji interpolującej wykonuje się działania matematyczne i przekształcenia, dlatego dąży się do tego, aby klasa funkcji F(x) była prostej postaci. Najczęściej są to wielomiany lub funkcje wymierne możliwie niskiego stopnia, wielomiany trygonometryczne i funkcje wymierne typu trygonometrycznego o prostej budowie. Interpolację stosuje się w przypadku obliczeń funkcji w postaci tabelarycznej oraz tam, gdzie obliczenie wartości pewnej funkcji f(x) z określającego ją wzoru jest trudne. W takim przypadku funkcję f(x) zastępuje się funkcja F(x), która w punktach a₀,a_i,...,a_n spełnia równości M = F(a₀),Aa_}) = F(_ai),...,f{a_n) = F(a_n).

Z interpolacją ściśle wiąże się zagadnienie ekstrapolacji funkcji. Metoda ta polega na znalezieniu wartości funkcji w punkcie leżącym poza przedziałem rozpiętym na węzłach. Do eksploatacji stosuje się z reguły te same wzory, co w przypadku interpolacji, których wybór jest uzależniony od położenia punktu obliczeniowego.

Metody interpolacji i ekstrapolacji wykazują, obok wielu zalet, szereg w’ad. Podczas interpolacji wielomianami w'raz ze wzrostem liczby węzłów wzrasta stopień wielomianu interpolacyjnego, co nie zawsze prowadzi do zwiększenia dokładności obliczeń. Przyjmowanie takich samych wartości przez funkcję interpolującą i funkcję interpolowaną w danych punktach jest w wielu przypadkach nieuzasadnione, szczególnie gdy węzły są wyznaczone w sposób doświadczalny i są obarczone błędami.

Aproksymacja jest szerszym zagadnieniem przybliżania funkcji, którego szczególnym przypadkiem jest interpolacja. Przybliżanie funkcji f(x) w sensie aproksymacji polega na konstrukcji funkcji aproksymującej F(x), która charakteryzuje funkcję f(x) na całym odcinku jej określoności. Punktem wyjścia teorii aproksymacji wielomianami w sensie jednostajnym jest twierdzenie Weierstrassa, którego treść jest następująca: Niech f(x) będzie funkcja ciągłą w przedziale domkniętym [a, />]. Dla dowolnej liczby dodatniej e istnieje taki wielomian W[x), że

\f(.x)-W(x)\<e

dla wszystkich x z przedziału [a, /;].

Twierdzenie to zapewnia znalezienie wielomianu aproksymującego, który z dowolną dokładnością będzie w sposób jednostajny na całym odcinku przybliżał daną funkcję, tzn. w każdym punkcie przedziału [a, b] błąd aproksymacji będzie mniejszy od ustalonej dokładności.