248(1)

Podstawiając funkcję y, wraz z pochodnymi y' — —3/łsin3x+3iłcos3A', y"    — 9/4cos3.y—9£sin3.v do równania niejednorodnego, otrzymamy

równość

{A — 65)cos3A+(5+6/t)sin3A: = 37cos3x

która stanie się tożsamością tylko pod warunkiem, że współczynniki przy jednakowych wyrazach (przy cos 3* i przy sin 3x) po obu stronach tej równości będą równe, czyli A—63 = 37, B+6A = 0.

Rozwiązując ten układ równań, znajdujemy A = 1 i B = —6.

Zatem

y, = cos 3*—6 sin 3a:

oraz

y = u+yi — ^(CtCosSA+C^sinS-rj-l-cosSA-—6sin3.x 3) Pisząc równanie charakterystyczne r²—6r+9 = 0 lub (r—3)² = 0 i znajdując jako pierwiastki r,.₂ = 3, otrzymamy (według reguły 3, § 7) całkę ogólną odpowiedniego równania jednorodnego; u = e^iz(C_l+C_ix).

Prawą stroną równania danego jest suma wielomianu stopnia pierwszego 3.v i funkcji wykładniczej — 8e^x (przypadek 3). Zatem całka szczególna tego równania powinna mieć postać: y, .= Ax-t-B+Ce^x.

Podstawiając y_u y[ = A+Ce^z i y" — Ce^z do danego równania, mamy

9Ax+(9B-6A)i-4Ce^z = 3x-8e*

Przyrównując współczynniki przy podobnych wyrazach po obu stronach powyższej równości, otrzymujemy układ równań: 9A = 3, 9B—6A = 0,

1 2

4C = —8, z którego znajdujemy A = -j,B = -^,C — —2. Wobec tego

^:+T^-2''

y = U + J>! =    + C₂ *)+ yX+y-2e*

4) Równanie charakterystyczne r³+4r = 0 ma pierwiastki r, = 0, r_2i3 = = ±2r; całką ogólną odpowiedniego równania jednorodnego jest więc

u = Cj-}-C₂cos2A-|-C3sin2x

Całką szczególną y_t danego równania niejednorodnego, w myśl przytoczonej reguły (przypadek 3), będzie funkcja o postaci podobnej do funkcji q(x) z prawej strony równania niejednorodnego, czyli

>’i = Ae^{2x J}t-e^y(Bcosx f Csin*)

Aby określić współczynniki A, B, C, znajdujemy pochodne y[ = 2/4e^2x+e^x[(i?4-C)cos.Y+(C—2?)sln.v] y\' — 4Ae^2x-\-2e^x(Ccosx—2Jsin.x) y[" = 8/le^2x+2e'[(C--5)cos.v-(5+C)sin.Y] i podstawiamy y\ i y[" do danego równania niejednorodnego. Mamy \6Ae^ix+2e^x[(B -\-3C)cosx-r(C—35)sin.v] = 8e^2x+5e^xsin.v

Po przyrównaniu współczynników przy wyrazach podobnych po obu stronach powyższej równości, otrzymamy układ równań: 16/4 = 8, 2(54-

1    3

+ 3C) = 0. 2(C—3B) = 5, z którego znajdujemy A = -5= — -, C — 1

= —. W konsekwencji

y_l — ~ e^2x-\- ^ e^x(sin.Y—3cosy)

y = M-pJi = Q+C_; cos 2.y -f C₃ sin 2.v -j-

' e^2x+e^x(sinx—3cos.\)

1121. Rozwiązać równania:

1)	d^Ąy dx^4	d^2y ^ó dx^2	= 9x^2
2)	d^}x	d^1.x	, dx
	dt^3	-^3^,* -	^fi *

4e^2t—3e^3t

3)    4>»'"-j-y = 3e^x-f2sin-^-

4) * y"^r+y" = 1 —6,Y²e^_x

Rozwiązanie: 1) Piszemy równanie charakterystyczne r⁴— 3r² = 0, znajdujemy jego pierwiastki r_li2 = 0, r₃,₄ ■= ± \'3 i w myśl reguł podanych "w § 7, wyznaczamy całkę ogólną u odpowiedniego, równania jednorodnego

u = C,+C₂.v-f C₃e‘ ^r*-fC_Ae~^v*^x

Prawą stroną danego równania niejednorodnego jest wielomian stopnia drugiego, czyli funkcja o postaci e^mxP(x) (przypadek 1), gdzie liczba m = 0 jest właśnie podwójnym pierwiastkiem równania charakterystycznego. Zgodnie z regułą podaną na początku tego paragrafu, całka szczególna

32*

499