Pochodna funkcji (1)

1. Pochodna funkcji

1.1. Podstawowe wzory dla pochodnych funkcji

Niech y oznacza funkcję zmiennej x, tj. y = y(x).

Pochodną funkcj i y względem zmiennej x oznaczamy y’(x) -    lub w skrócie y'.

dx

Tablica 1. Podstawowe wzory dla pochodnych funkcji

L.p.	Funkcja	Uwagi o funkcji	Pochodna funkcji
1	y = c	c e R	y=o
2	y = x^a	a e R , (x zależy od a)^1*	/ = ax^a~^]
3	1 y = — X	x / 0
4	II	x > 0	ll to *~1 ^
5		a > 0, x e R	y' = a^x Ina
6	II *	x e R
7	y = i°gfl*	a>0, a^l,x>0	y'= iogac = x xlna
8	y = lnx	x > 0	X
9	y = sinx	x e R	y' = cosx
10	y - cosx	x e R	y = -sinx
11	y = tgx	x e R , x * —7T + kn, łeC 2	1 y = 2 COS X
12	y = ctgx	x e R , x±kn, k eC	z--.^1, sin x
13	y = arcsinx	-1 <X<1
14	y - arccosx	-1 <x< 1	^y~ Vl-x^2
15	y = arctgx	x e R	^y_l+x>
16	y - arcctgx	x e R

'' • Jeśli a jest liczbą całkowitą dodatnią, to y — x^a jest wielomianem określonym dla wszystkich x.

•    Jeśli ajest liczbą całkowitą ujemną, to y = x^a jest funkcją wymierną określoną dla wszystkich x ± 0.

•    Jeśli ajest liczbą wymierną, to y — x^a jest funkcja pierwiastkową. Jeśli np. w jest liczbą naturalną i y = x^1/m = %[x , to pochodna y' jest określona dla wszystkich x przy m nieparzystym, a tylko dla dodatnich x przy m parzystym (w tym przypadku^ jest pierwiastkiem arytmetycznym).

•    Jeśli ajest liczbą niewymierną, to zakładamy, że x > 0 (wartość x = 0 dopuszczamy tylko przy a > 0).