251(1)

Korzystając powtórnie ze wzorów Eulera przedstawiamy wynik za po-nocą funkcji trygonometrycznych

¹ (2 \ ¹ / 1' \

yj = —— I— co53y—2cos.yI= --Icosy--^-cos3xl

Rozwiązać równania:

1123. y"+4y = 5e^x 1124. y"+y' -2y= 6.v²

1125. y"Ą-6y'+9y = 10sin.v 1126. y'"-y"-4y'-\-4y - .^-3

1127. -S--2.Y --- te~' 1128.    2    = 4(.v+l)

dt²    dx² dx

1129.    y''-{-9y = 15sin2.v, przy warunku >'(0) = — 7, /(O) = 0

70

1130.    y”—3y' = 3x-f .t², przy warunku y/(0) =0, y'(0) =

d³x , d²x _r , .    d^As , . d³s .    .

1131. ——j-, = e~-{-6t 1132. —:-t-+4—= 4cos4r

dt³ dt²    dt⁴    dt³

1133*. y"-2y’+y = xe^x 1134*. y'-5y'+6y - 6 j-2e^x+e^J*

1135*. y'—4y'-\-l3y = e^2xcos3x    1136*. y^,(4)-)-2y⁽²⁾+>' 8cosy

Na podstawie wzoru (*) znaleźć całki szczególne równań:

1137. y"-5y'+6y = e^x(e^x+4)    1138. y"-j-2y'-j-y    = xe^xcosx

1139. y"-ł-6y'+9y = e~^3xcosIy    1140. y''-\-\6y =    sin³x

1141. y"-3y'+2y = e^+1)'¹    1142. y"'+4y' =    sinlvcosx

§ 9. Zadania mieszane na całkowanie równań różniczkowych różnych typów

W poprzednich paragrafach tego rozdziału rozpatrzyliśmy najczęściej spotykane typy równań różniczkowych, sprowadzające się do całkowania (kwadratury), i podaliśmy sposoby ich rozwiązywania. W poniższych zadaniach trzeba samodzielnie ustalić, z jakim typem równania mamy do czynienia, a potem rozwiązać je w odpowiedni sposób.

1143.    xyy'-rx²—y² = 0

1144.    l-t-(xcos_y—sm2y)y' = 0

1145.    x-\-yy'-\-(l-\-y')xy = 0 przy warunku j (0) — 0

y    y

1146.    (ycos ~—x)dx — xcos ^dy

1147.    2y’jt’4 3,vV + 7 = O

1148.    >■"-}-4 = Scos²y, przy warunku >’(O) — /(O) — O

1149.    xy' cosy+siny O

1150.    (1 —xy^y)dx = x²y²dy

1151.    y"sin.v = (1 —y')cosY, przy warunku y| j = 0, y' = - 1

1152*. y²r/-v (2xy- 3)dy — 0, przy warunku y(l) = J

1153. (1 — yc~^x)dx-i-e~^xdy = O

1154*. y"—2y^JĄ-y — 4e^x j-e”-*sin.r

1155.    y"+y' = 2x²e^x, przy warunku y (0) — 5, y'(0) = f),5

1156.    y"siny—2(y')²cosy = 0, przy warunku y(0) = -'J , y'(0) = 2

1157.    y'"sin⁴.v = sin2.v

1158*. y"‘—3v>'—2y —siny = 2cosy

1159.    y'"-yⁿ-y'+y = 3y+ e^x(24Y-4)

1160.    y"+y — secY

1161*. y"+2ay'+a²y = ^xe~^ttx

§ 10. Zadania prowadzące do równań różniczkowych

Zadania, których rozwiązanie prowadzi do całkowania równań różniczkowych, zawierających pochodne albo różniczki niewiadomych funkcji, są bardzo różnorodne. W zadaniach takich szukamy albo funkcji, albo zależności pomiędzy zmiennymi czynnikami czy parametrami pewnego procesu fizycznego, chemicznego lub technicznego, albo wreszcie równań określających kształt pewnej linii lub powierzchni.

Przy rozwiązywaniu takich zadań układamy najpierw równanie różniczkowe zadania, a potem rozwiązujemy je w ten czy inny sposób, w zależności od jego typu.

Równanie różniczkowe zadania układamy na podstawie danych warunków. W zależności od tych warunków przyjmuje ono albo postać związku Pomiędzy różniczkami zmiennych wielkości, występujących w zadaniu, albo też postać zależności, w której występują pochodne niewiadomej funkcji.