264

Pozostałe n— 1 funkcji wyraża się za pomocą całki ogólnej tego równania za pośrednictwem samych tylko działań algebraicznych i ewentualnie różniczkowań¹'.

Aby więc np. znaleźć rozwiązanie ogólne układu dwóch równań liniowych rzędu pierwszego

y-r^y+biZ = qi(x) \

z' + a₂y-\-b₂z = q₂(x) \

(gdzie y i r są niewiadomymi funkcjami zmiennej niezależnej a; ci_x,b_{, a₂,b₂-- znane stałe oraz q_x,q₂ — znane funkcje x) różniczkujemy względem x pierwsze z tych równań

/'+01/+Ó1-' — <7i    (²)

i eliminując ; i z równań układu (1) i równania (2), otrzymamy jedno równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach, z jedną niewiadomą funkcją y

y"+ay'+by = q(x)

gdzie: a = a_x—b₂, b = a_xb₂ -a₂b,, q = q'_i^Jrb₂q_l—b₂q₂.

Całkując to równanie (por. § 8), wyznaczamy y = fj(.v, Cj, C₂). Podstawiając następnie otrzymane wyrażenia dla funkcji y i jej pochodnej do pierwszego równania układu (1) znajdziemy drugą z szukanych funkcji: z = F₂(x, C,. C₂). Terrzespół (układ) funkcji y i r będzie ogólnym rozwiązaniem układu (1).

Ażeby znaleźć rozwiązanie szczególne układu (*), spełniające zadane warunki początkowe: V|(-Vo) = 0'iV >b(-^vo) ~ 0'’)o» •••> yn(.X'o) — (y_n)ą (zagadnienie Cauchy'ego) trzeba z równań (**), przedstawiających ogólne rozwiązanie, wyznaczyć wartości stałych dowolnych Cj, C₂. C_n, odpowiadające warunkom początkowym.

Układy równań, w których występują pochodne wyższych rzędów, można również rozwiązywać przez sprowadzenie do jednego równania. Nie jest to jednak jedyny sposób rozwiązywania układów' równań.

1200. Znaleźć ogólne rozwiązanie układu równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach: i + 2,-4₂ = 0

6w'—u—lv-\-5w = 10e 2v'-\-u-\-v—w — O Iw'-uĄ-lt—w = e^x

1)

2)

dz

~&+y-3z = 3^

Rozwiązanie: 1) Zróżniczkujemy pierwsze równanie względem *

y"+2/-4z' = 0

a następnie wyeliminujemy z otrzymanego równania i z obu danych równań z i z'. W wyniku otrzymamy jedno równanie różniczkowe drugiego rzędu z jedną niewiadomą funkcją y

y"—y'—2y = 12/

Jest to niejednorodne równanie liniowe o stałych współczynnikach. Rozwiązując je (patrz § 8), znajdziemy

y = C_le~^x+C₂e^2x-6x²+6x-9

Drugą z szukanych funkcji, czyli z, znajdujemy z pierwszego równania układu, podstawiając do niego znalezione uprzednio wyrażenie dla funkcji y i jej pochodną / = — C_!e^-*+2C₂e^2x—12x:+6. Otrzymamy

* = -^y-^¹ = {c.e-HC^-3^-3

Zespół (układ) obu wyznaczonych funkcji jest poszukiwanym rozwiązaniem wyjściowego układu równań.

2) Różniczkujemy względem * pierwsze równanie

6 u"—u'~lv'+5w' — lOe*

i zamiast pochodnych v' i w' podstawiamy ich wyrażenia z drugiego i trzeciego równania

36u”-6u'+3lu+v-1 lw = 50e*    (a)

Otrzymane równanie ponownie różniczkujemy względem x 36u"'—6w"+31u'-f©'-llw = 50e^x

i znów zamiast ©' i w' podstawiamy ich wyrażenia z drugiego i trzeciego

równania

216ii'"-36«"+186w'-25k+41*>— 19w = 322e^x    (p)

34*

531

1

w wyjątkowych przypadkach może okazać się. że otrzymane równanie będzie

2

niższego rzędu niż n. Wtedy wyznaczenie niektórych spośród funkcji wymaga kilku dodatkowych całkowań.