265

Teraz korzystając z pierwszego równania układu i z równania (a) wyrażamy v i w przez x, u, u', u"

v = Y«"+ y«'+2u—^5eX’ w = y w"—y«'+3w—5e^x (y)

Podstawiając te wyrażenia do równania (,3) otrzymamy równanie trzeciego rzędu z jedną niewiadomą funkcją u

= 2e^x

Całkując powyższe niejednorodne równanie liniowe o stałych współczynnikach, znajdujemy

u = J_l+C₂cosx+C₃sinx-\-e^x

Podstawiając znalezione wyrażenie na u oraz pochodne u¹ i u" do równości (y), znajdujemy pozostałe dwie funkcje

v = 2Ci + y (C₃—C₂) cos* — y (C₃+C₂) sin*

w = 3C[ —2-(C₂4-C₃)cos*-j-    (C₂— C₃)sin.r-j-e

Rozwiązując ostatnie zadanie pokazaliśmy jednocześnie ogólny sposób sprowadzania układu równań różniczkowych liniowych do jednego równania wyższego rzędu. W wielu jednak przypadkach można to zrobić

0    wiele prościej.

1201. Znaleźć rozwiązanie szczególne układu równań różniczkowych

^- + 2x+y = sint,    —- — 4x—2y = cosr

dt    dt

spełniające warunki początkowe: x{n) = 1, y(n) — 2.

Rozwiązanie. Najpierw znajdujemy rozwiązanie ogólne danego układu. W tym celu różniczkujemy względem t pierwsze równanie

x"+2x'+/ = cosf

1    do otrzymanego wyniku zamiast pochodnej y' podstawiamy jej wyrażenie zależne tylko od t i *', wyznaczone z danego układu równań, co prowadzi do równania drugiego rzędu o jednej niewiadomej funkcji *

x"-l-2sin/ = 0

Rozwiązując je jako najprostsze równanie wyższego rzędu przez dwu-krotne całkowanie obu stron (§ 6) albo też jako niejednorodne równanie

0    stałych współczynnikach (§ 8), znajdujemy

x — C[t4-C₂+2sinr    (a)

Podstawiając wyznaczoną funkcję .r i jej pochodną x' = Ci+2cosr do pierwszego równania rozważanego układu, otrzymamy

y — — 2Ć\—C,(2r-|-1)—2cosr—3sinf    (b)

Ogólnym rozwiązaniem danego układu jest więc zespół wyznaczonych funkcji x i y.

Z kolei, na podstawie warunków początkowych, wyznaczamy stałe Cj i C₂. Z pierwszego warunku: x — 1, gdy t = n, oraz z równości (a) otrzymamy pierwsze równanie na stałe Cj i C₂

1 — C]7cĄ-C₂

a z warunku: y — 2, gdy t — n, oraz z równości (b), otrzymamy drugie równanie z niewiadomymi C, i C₂

2 = —2C₂—Ci(1 +2w)+2.

Rozwiązując oba równania jako układ, znajdujemy C₍ = —2, C₂ =

= 1+2^.

Wreszcie, podstawiając obliczone wartości C, i C₂ do rozwiązania ogólnego, znajdujemy szukane rozwiązanie szczególne danego układu, spełniające oczywiście dane warunki początkowe

x= 1— 2(r—jr)-j-2sinr,    y = 4(r—n)—2cos/— 3sinr

1202. Rozwiązać układ równań: y"—z = 0, z^,+8y = 0. Rozwiązanie. Różniczkując pierwsze równanie, wyznaczamy z'

1    po podstawieniu tej pochodnej do drugiego równania, otrzymujemy /"+%? = 0, skąd (§ 7)

y = Qe~^lx-)-e*(C₂cosv 3 je-|-C₃siny' 3x)

Różniczkując dwukrotnie y i podstawiając y" do pierwszego równania, znajdujemy

z = 4C₁e^-2*—2e*[(j/TC₃-C₂)cos/Jjc-f/T ę.+Cjjsin/T x\ Rozwiązać układy równań

533