2

34

Zakładając, że c_u^0, odejmujemy pierwsze równanie pomnożone przez c_nlc_n od i-tego równania (/=2, 3, n) i obliczone współczynniki zapisujemy na miejscu poprzednich. Otrzymujemy następujący układ równań

^Cll*l ^{+ C}12*2 ^{+ C}13*3 ⁺ ••• ^{+ C}1 n^Xn ^Cl,n + 1

^C22^X2 ⁺ Cn^X3 ⁺ ••• ⁺ c

^32 *2

X, + C'₃J'X₃ + ... + c'^x_n = c

3,11 + 1

(1.41)

cS>X, + C®X. ₊ ... * c®*. = c⁽¹⁾

^u»2 **2 ^ci»3 *3

który odpowiada sprowadzeniu macierzy C do Ci

n,n + l

c, =

^C11	^C12	^C13 • ■	• ^Cln	^C1,B + 1
0	,(1)	.0)	M)	,(D
	^c22	C23 • .	• ^C2it	^C2,»+l
0	„(0	„(1)	.0)	,(1)
	^c32	^c 33 •	■ • ^C3n	^C3,ll*l
0	c^(1) ^Cn2	c^(1) ^cn3 • ^1	c^(1) * * ^cnn	,(» ^cn,n*\

(1.42)

za pomocą wzorów określających nowe współczynniki

.0)

= c - -ile ^ciJ . ^CIJ ^Ł11

i -2, 3, n , j 2, 3, .... n + 1

(1.43)

22

* ^ai3^Xi ^+ -	• ^+Cln^Xn	^cl,lt+l
+ C$X 3 + ..	• * c«x.	- r^(1) c2,» + l
4V^X3 ^+ ••	• ^+	II +	(1.44)
<n3^X3 ^+ •	•• * c®*.	= c^<2) ^n.n + l

Jeżeli Cj^O, to odejmujemy drugie równanie układu (1.41) pomnożone przez c/^/c.⁰⁵ od i-tego równania układu (i=3, 4,    «). Mamy układ równoważny

'11 *1 ^{+ C}12 *2

„0)„

gdzie nowe współczynniki wyrażają się wzorami „(i)

cjf = c,® - -rh^c2j * i = 3, 4,    j = 3, 4, ..., n + 1 ,    (1.45)

ff⁽¹⁾

^L22

a macierz C₂ ma postać

	^C11	^C12	^C13 •	■ ^cm	^Cl,n + 1
	0	c^(I) ^ł22	c^(1) ^ł23 •	• c‘»	c^(1) ^c2, n + 1
C2 =	0	0	c^(2) ^ł33 •	■ cff	c^(2) ^c3,n + l
	0	0	c^(2) ^cn3 •	■ c»	c^(2) ^n,n +1

Kontynuując takie postępowanie po wykonaniu n kroków, dochodzimy do znanego z poprzednich podrozdziałów układu trójkątnego

+ C12 X2 + fljj X3 + ..	• ^+Cln^Xn	^Cl,n + 1
(1) (1) c22 x2 + c^x3 + .	+ c^(1)x ^+c2n ^xn	= c^(1) ^L2,n*l
(2) ^C33 *3 ^+ '	+ c^mx ■■ ^c3n ^xn	= c^(2) ^c3,n + l	(1.46)

któremu odpowiada przekształcona macierz C„_!
	^cn	c)2 Cjj . .	• ^cln
	0	c^(1) e^(1)c22 c23 . .	c^0) ^c2n	c^(1) ^2, n + 1
c.., =	0	0 c<^2) . .	c^(2) • ^c3 n	c^(2) c3,n + l
	0	0 0 . .	An-D *	.(»-!) ^Łn,B + I

Przejście od układu równań liniowych (1.40) do trójkątnego realizuje więc następujący ciąg wzorów

(1-47)

Otrzymany układ równań rozwiązuje się metodą przedstawioną w podrozdziale 1.2.

Jak widać z powyższych rozważań, algorytm rozwiązywania układu równań liniowych metodą Gaussa jest równoważny z wykonywaniem ciągu przekształceń na macierzy C.