DSC00071 (4)

Odejmując odpowiednio stronami pierwsze równanie od drugiego i od drugiego mamy

14a+146+42=0,    12fl+24=0.

Stąd a=-2, b--1, a następnie r=5. Szukany okrąg ma więc równanie (x+2)²+(y+l)²=25.

349.    Równanie dane możemy przedstawić w postaci

,(x+f_fl)^J+(y+łi>)^J=ia^a+±&*-c, ;

skąd widać, że równanie to określa okrąg przy warunku a²+b²—4c>0.

350.    Biorąc y=0 otrzymujemy ewentualne punkty przecięcia naszło okręgu z osią Ox, których odcięte muszą spełniać równanie x²+<«+ +c=0. Pizy d=a²-4c=0 otrzymamy jeden punkt przecięcia, czyli warunek styczności okręgu do osi Ox.

351.    Obliczmy odległość punktu S od danej prostej d= 6. Promień r szukanego okręgu jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego 1 przy-prostokątnych d=6 i połowie cięciwy równej 8, a więc r= 10. Szukany okrąg ma zatem równanie (,v-1)^! +(y— l)² = 100.

352.    Odległość szukanej prostej od środka okręgu S( 1, — 1) wynosi V13 (por. zad. 351). Z tego warunku wyznaczymy a, = l i a₂=|. Mamy więc dwie proste spełniające warunki zadania: 2x—3y+8=0 łub 3x+ +2y-14=0.

353.    .5,(30,48). S_t(-30,48).

354.    Szukana prosta jest prostą przechodzącą przez punkt A i prostopadłą do prostej łączącej punkt + ze środkiem okręgu. Jej równanie jest 4x-2y-9=0.

355.    Równania prostych równoległych do prostej danej i oddalonych od niej o ^/5 są następujące:

(1)    x—2y+4=0,    x—2y—6=0.

Przez punkt A poprowadźmy prostą prostopadłą do tych prostych, tj. prostą y= ~2x+7 i przetnijmy ją z prostymi (1) otrzymując środki ,5,(2,3) i S₂(4, —1) szukanych okręgów, a następnie równania tych okręgów 1

(x—2)²+(y—3)²=5,    (x—4)^a+(y + l)² = 5.

356.    środek (a, b) szukanego okręgu leży na prostej równoległej do danych prostych i jednakowo od nich oddalonej, a więc na prostej 2x+ +y-*8=0. Ponadto środek ten musi być oddalony od punktu M o połowę

odległości między prostymi danymi, czyli o 2 jpł a więc jego współrzędne muszą spełniać równanie (a—l)²+6ⁱ=20 oraz wyżej wymienione równa-' nie prostej, czyli 2o+b—8=0. Rozwiązując otrzymany układ równań znajdziemy dwa środki okręgów S_t(5, -2) i S₂(f,^>, czyli istnieją dwa okręgi spełniające warunki zadania    v,y

(x-5)²+(y+2)²=20 lub (x~f)²+(y-$^J=20.

357. Napiszmy równania dwusiecznych kątów między prostymi danymi, tj. proste x-3y-35=0, 3x+y+15=0 i przetnijmy je prostą x+7y-15=0 przechodzącą przez punkt A i prostopadłą do prostej 7x--y-5=0. Otrzymamy w ten sposób 'Środki 5_t(-6,3) i 5^(29, -2) szukanych okręgów, a następnie ich promienie SiA<=r₁=5^2 i SiA= =r₂=20_N/2. Stąd równania okręgów spełniających warunki zadania są następujące:

(x+6)²+(y-3)²=50 lub (x-29)²+(y+2)¹*800.

358. Równania dwusiecznych kątów między prostymi danymi można zapisać w po iaci x-3y—11=0, 3x+y+7=0, skąd na podstawie rysunku 78 widać, że środki szukanych okręgów muszą leżeć na dwusiecznej 3x+y+7=0. Odległości szukanych środków (a, b) od początku układu i od danych prostych muszą byó jednakowe, co da się zapisać równaniem

lilii

\a+2b+9l

m