9414913077

Od drugiego pierwsze oraz od dwa razy pierwszego drugie. Razem więc mamy

_ei = vj + v₂ - v₃ , e₂ = Vi - 2v₂ + v₃ , e₃ = -vi + v₂ .

Udało się jednoznacznie wyrazić trzy (z założenia) liniowo niezależne wektory ei, e₂ i e₃ przez wektory Vj, v₂ i v₃, co oznacza, że te drugie też są liniowo niezależne, czyli też mogą być bazą przestrzeni. Możemy teaz przerobić wektor w:

w = 6ei+9e₂ + 14e₃

= 6 (vi + v₂ - v₃) + 9 (v! - 2v₂ + v₃) + 14 (-V! + v₂)

— V! + 2 v₂ + 3 v₃ ,

czyli współrzędne w w bazie Vi, v₂ i v₃ to (1,2,3).

Zapiszmy to przez macierz zmiany bazy. Niech

l¹    1    "M

(ei,e₂.e₃) = (vi,V2,v₃)    1    -2    1    .

\—1    i o)

Mnożenia “paluchowe” podrazumywajetsia. Jeśli teraz napiszemy (stosując konwencję sumacyjną wujka A.E.) wektor w w postaci w = ąwL) (indeksik e u wfa ma przypominać że w^l(_e) = (6,9,14) to są współrzędne w bazie ej) to będziemy mieć:

w = BiW\_e) - v_kR^k{wl_e) = v_kw{_v) ■

gdzie R^kt jest macierzą zmiany bazy, a w*/_v\ = R^kiw^l^_e-, jawnie wygląda tak:

Zadanie 16

Jak w zadaniu 15 tylko teraz

a w w pierwotnej bazie ma współrzędne (6,2, —7).

Odp.: Znów piszemy

vi — 2 e! -|- e₂ — 3 e₃ , v₂ = 3 ei + 2 e₂ — 5 e₃ , v₃ = ei - e₂ + e₃ .

10