268

Aby wyznaczyć stałe a_n i /?„, wykorzystamy dwa ostatnie warunki graniczne. Podstawiając do równości (3) t = 0, u — ^(.r) (trzeci warunek), otrzymamy

+ 00 .

(4)

rmx

1

Następnie różniczkując względem t rozwiązanie (3' mamy

^+co    i    \

ću V¹ atm / „ aimt . annt \ . imx "a “Z ,-(/*.«» — ■-«.sm—-Jsin-p

n=l

skąd po podstawieniu t — 0, Bu jot = (pi(x) (czwarty warunek), otrzymamy

atm _n . )mx

<Pz(x) ⁼ _y' j Pn stn ~j

(5)

n= l

Równości (4) i (5) przedstawiają rozwinięcia funkcji ^(.y) i <p₂( x) w przedziale (0, /) w niepełny szereg Fouriera, zawierający tylko sinusy. Współczynniki tych rozwinięć są określone wzorem, podanym w rozdz. IX, § 7:

+ a>

jeśli f{x)^= £ ó„sin , to b„ — -j J f(x)sirt^L-cix    (*)

Na podstawie tego wzoru, otrzymujemy

(6)

i

nem

| <pz(x) sin ^>m~ dx

W konsekwencji szukanym rozwiązaniem szczególnym danego równania, spełniającym dane warunki graniczne, będzie funkcja (3), w której stałe a„ i /?„ są określone wzorami (6).

Oczywiście dla różnych danych wyjściowych a, I,<pi(x),<p₂(x) z wzorów (6) otrzymuje się różne wartości na stałe a„ i /?„, a zatem i różne szeregi (3) dla funkcji «(.r, t), spełniającej dane równanie różniczkowe i dane warunki graniczne.

Sens fizyczny rozwiązania tego zadania można przedstawić następująco. Mamy np. strunę, zamocowaną w punktach a- = 0 i x = 1 osi Ox. W chwili początkowej t — 0 struna miała kształt krzywej u = 9^ (a) i każdy jej punkt o odciętej a miał prędkość u', = f₂(^x)- Następnie struna ta, puszczona swobodnie, zaczyna drgać, pozostając przy tym w płaszczyźnie aOu. Rozważane równanie jest równaniem różniczkowym poprzecznych

h

drgań struny (parametr a² — — , gdzie h — naciąg struny, q —jej gęstość),

a otrzymane rozwiązanie h(a, t) tego równania określa kształt struny w dowolnej chwili t.

1209. Znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego cząstkowego ™ =- n²4^-, spełniające warunki graniczne:

1)«(0, 0 = 0, 2) u(l, i) = 0, 3) u(x.. 0) = «p(a).

Rozwiązanie. W myśl metody Fouriera, piszemy

m(a, t) = X(x)T(l) .

Wtedy równanie dane przyjmuje postać

XL-.1L- n

X ~ ~a²T -

i    rozpada się na dwa równania

X" -f )?X = 0 oraz    T‘+(H² T=0

po rozwiązaniu których, otrzymujemy

X = A cos Aa -)- Bs\n),x, T = Ce u(a, t) = e“^fl'‘^;S'(ccosź.A+/3sinAA)

gdzie: a — AC i /? = BC — stałe dowolne.

Korzystając z pierwszego warunku: u = 0, gdy x = 0, oraz z drugiego:

ii    — 0, gdy a = /, otrzymamy

0 = «cos0+/?sin0,    0 = acosź/-|-/isinA/

skąd: a = 0,    2 = -^; n= 1,2,3,...

Tak samo jak w poprzednim zadaniu, każdej wartości ż(n) odpowiada rozwiązanie szczególne

72    _nnx

u_n=p„e    sm—j—

539