12337 s132 133

32

Aby wyznaczyć to rozwiązanie, skreślamy w układzie ostatnie równanie, nie objęte wyznacznikiem utworzonym z macierzy A i stosujemy wzory Cramera do układu równań:

x — 2 y + z = 1

x + y + z = 0

3x —		y -	z
	1	-2	1
D, =	0	i	1
	1	-i	-1
	1	i	1
Dy =	1	0	1
	3	i	-1
	1	-2	1
D, =	1	1	0
	3	-1	1

= 4

1,

więc:

D_x ^X = ~D

Odp.: x = i, y = -

D„ 1    D, 1

^y=-D=~ 3’    ' ⁼ lT = 12-

~ jest jedynym rozwiązaniem naszego układu.

6. Zbadać rozwiązalność układu równań

x — y + 2z — 0 x + 2y — z = —1 2x — y + z = — 1 3x — 2y + 3z = 1.

Zdefiniujmy macierze A i Ab związane z układem:

■1	1 (—*	2-		-1	-1	2	O —1
1	2	-1	II	1	2	-1	-1
2	-1	1		2	-1	1	-1
.3	-2	3.		.3	-2	3	1.

1

1

2

Ponieważ

więc R{A) = 3.

Podobnie, korzystając z własności obliczania wyznaczników, marny

det(.4/,) =

1	-1	2	0		1	-1	2	0
1	2	-1	-1		4	0	2	0
2	-1	1	-1		5	-3	4	0
3	-2	3	1		3	-2	3	1

więc R(Ab) = 4.

Wynika stąd, że R(A) ^ R.(Ai,), a więc układ równań jest sprzeczny.

	1	-1	2
=	4	0	2
	5	-3	4

7. Przedyskutować rozwiązalność układu równań

x + 2y + (a + 3)z = 8 2x + 3y + (a + 4)z = 12 3x + (6a + 5 )y + 7z = 20

w zależności od parametru a.

Obliczmy wyznacznik macierzy ^4,

1    2 a + 3

det(A)

3

6a + 5

a + 4 7

= 6a~ + 14a = 2a(3a + 7).

1° Dla o^O i    układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdyż R{A) =

R(A_h) = 3.

2° Dla a = 0 mamy

A =	'1 2 3' 2 3 4	, Ab =	'1 2 3 8' 2 3 4 12
	3 5 7		3 5 7 20

a stąd

R(A)

R

R(A_h) = R

1 2

2    3

3    5

1    2 3

2    3 4

3    5 7

= R

= R

1	2	3'	\
2	3	4	=
0	0	0	)
1	2	3	8'
2	3	4	12
0	0	0	0

więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnycłi odn-r = 3- 2 = parametru. Dodajmy, że rzędy macierzy A i A/, obliczyliśmy dodając dw pierwsze wiersze i odejmując je od trzeciego zarówno w macierzy A oraz .4/

3° Dla a ^ układ jest sprzeczny, gdyż R(A) — 2, oraz R,(Ai,) = 3.