275

Rvc. 10.1. Zachowanie się tiw. równania lof litycznego, określonego wzorem /».♦*^a rPA I */>•)• które jest przykładem prostego nieliniowego równania różnicowego Dla niew*lkich r (= 2.75) p_ą rośnie wraz z n do wartości stałej. Atraktorem takiego układu jest punkt zaznaczony na wykres* po prawej stronie za pomocą krzyża (a). Gdy z *3.50. P. wpada w stabilne oscylacje, a jego atraktorem są cztery punkty, pomiędzy którymi sygnał .odbija wę“ w nieskończoność. Punkty le na wykresie po prawej stronie poleczono linią łamaną (b). Gdy r = 3.999. układ zachowuje się chaotycznie Jego atraktorem jest parabola skądkotwiek zacząłby się ruch uktaki. po pewny m czasie wszystkie punkty jego trajektorii znajdą się na pokazanej paraboli (ck Dła wszystkich wykresów * 0.075.

Załóżmy, że p₀= 0,075. Kiedy wartość r jest niewielka, na przykład wynosi 2.75. populacja najpierw stromo rodnie, a następnie po kilku niewielkich wahnięciach. zatrzymuje się na stałej wielkości (ryc. 10.la. po lewej). Nietrudno przewidzieć. 2c atraktorem tego układu jest punkt (ryc. 10.la. po prawej): niezależnie od lego. od jakiej wielkości populacji rozpocznie się obliczenia, kotkowy stan będzie taki sam.

Jeśli parametr r zostanie zwiększony do wartości 3.50. układ będzie zachowywał się /gola inaczej. Po początkowym wzroście wielkość populacji zaczyna regularnie oscylować. Atraktor w tym przypadku składa się z czterech punktów, pomiędzy którymi „skacze" wielkość populacji w kolejnych latach.

Jeśli jeszcze nieco zwiększymy wielkość parametru r. wielkość populacji zacznie bezładnie fluktuować. Atraktor natomiast przyjmuje kształt paraboli. Stan układu nigdy się nic powtórzy: każda nowa para liczb p_ą. p^, będzie zajmowała nowe. dotąd .jiieobsadzonc" miejsce na paraboli atraktora Oznacza to. że stan układu nigdy się nie powtórzy (powtórzenie oznaczałoby oczywiście okresowość zmian wielkości populacji). Takie zachowanie nazywamy chaotycznym.

10.1.2.1. Droga do chaosu

Szczególnie interesujące dla pionierów badań nad chaosem było ustalenie, jak wygląda przejście od uporządkowanego zachowania układu pokazanego na ryc. 10.la i 10.Ib do chaotycznego przedstawionego na ryc. 10.Ic? Jak to się dzieje, że dla pewnych wartości r układ jest periodyczny, a dla innych całkowicie chaotyczny? Jak wyglądają miejsca przejść między porządkiem a chaosem?

Wymaga to bardzo prostych obliczeń. Wystarczy dla każdego r z pewnego obszaru wyliczyć wszystkie możliwe wartości, jakie może przybierać p_m. Oczywiście, trzeba odrzucić początkowe wartości, kiedy układ dochodzi do swojego atraktora. Tak więc. w przypadku ryc. lO.la, x_ą przybiera tylko jedną wartość, ryc. lO.lb -cztery wartości, a ryc. 10.Ic - nieskończenie wiele. Mitchell Tcigcnhaum był pierwszym uczonym, który wykonał takie obliczenia. Na osi odciętych odkładał daną wartość r_% a na osi rzędnych wszystkie możliwe wartości p_m. Wyniki takich obliczeń w odniesieniu do równania logistycznego zostały przedstawione na rycinie 10.2.

275