282 283

282

max-min pozwala na maksymalne zniwelowanie tych niekorzystnych decyzji, Podobne uzasadnienie ma przyjęcie reguły min-max dla Gracza II (wciąż pamiętamy o tym, że dla Gracza Ii macierz wypłat interpretujemy w kategoriach strat). Oznaczamy przez wj wypłatę Gracza I, jakiej spodziewa się on, stosując strategię max-min, oraz przez S^lp — strategię wybraną przez niego przy zastosowaniu tej reguły. Z kolei oznaczamy przez w,j wypłatę Gracza II, jakiej spodziewa się ten

Podejmowanie decyzji w warunkach niepełnej informacji $

Qry dwuosobowe o sumie zero

283

gracz, stosując regułę min—max, a przez 5^°’ Spełnienie warunku:

odpowiednio wybraną strategię.

oznacza, żc racjonalne oczekiwania Gracza I spotykają się z racjonalnymi oczekiwaniami Gracza II na poziomie w’ = w,j, o ile Gracz I zastosuje strategię Sp, a Gracz. II — strategię Para strategii (5',',    ) spełniających warunek (5.4)

określa punkt równowagi gry. zwany punktem siodłowym. Przyjmujemy, że punkt siodłowy, o ile istnieje, jest rozwiązaniem optymalnym gry.

Przedstawione powyżej uwagi zilustrujemy za pomocą kolejnego przykładu.

Tablica 5.11

Gracz 1	Gracz 11					min
	W	sf	S<^3>		sf
S<"	180	150	230	170	150	150
Sf>	200	210	200	150	190	150
s;^31	210	230	190	190	200
	150	220	170	180	220	150
sf	210	200	160	150	210	150
max	210	230	230	@	220

5.4.3. Strategie mieszane

Nie zawsze punkt siodłowy istnieje. Wskazuje na to przykład, oparty na chińskiej grze „Człowiek-Kógut-Robak”.

Przykład 5.5¹

Rozpatrujemy następującą macierz wypłat:

Przykład 5.6^S

W =

180	150	230	170	150
200	210	200	150	190
210	230	190	190	200
150	220	170	180	220
210	200	160	150	210

Należy znaleźć punkt siodłowy (o ile istnieje).

Sprawdzamy najpierw, czy istnieją strategie dominujące i zdominowane dla poszczególnych graczy. Okazuje się, że takich strategii nie ma. W związku z tym stosujemy odpowiednio reguły max-min (dla Gracza I) oraz min-max (dla Gracza 11). Wyniki przedstawiono w tablicy 5.11.

Ponieważ wartości ve_l(5^<|⁾, S^) i w,, (5*^, S^) są sobie równe, więc stwierdzamy, że istnieje punkt siodłowy. Tworzą go strategie (dla Gracza I) oraz (dla Gracza II). Wartość gry jest równa 190.

Uczestnicy gry wymieniają jednocześnie jedno z następujących słów: „Człowiek”, „Kogut” lub „Robak”. W przypadku wyboru lego samego słowa gra jest nierozstrzygnięta. W przypadku wyboru różnych słów stosujemy następującą zasadę: człowiek zjada koguta, kogut zjada robaka, a robak zjada człowieka. Posługując się odpowiednio wartościami 1, 0 i -1, otrzymujemy następującą macierz wypłat wraz z wartościami minimalnymi i maksymalnymi (tablica 5.12).

Łatwo zauważyć, że nie ma strategii dominujących ani zdominowanych. Nie ma także punktu siodłowego.

Tablica 5.12

Gracz 1	Gracz II			min
	Człowiek	Kogut	Robak
Człowiek	0	1	-1	-i
Kogut	-1	0	1	-i
Robak	1	-1	0	-i
max	I	1	1	X

Pr/.yktad ten, zaczerpnięty z pracy pod red. E. Ignasiaka, Badania operacyjne, PWE, Warszawa 2001, można rozwiązać za pomocą programu GAME.EXE.

1

Przykład fen można rozwiązać za pomocą programu GAME.EXE.

- V

■*v