20781Q1561252248895–1794578 n

19 VI 2013 r.

Eg/amin i matematy ki

nazwisko i imiÄ™....................................................................

I rok Budownictwa numer grupy ....................................

1.    a) Podać dwie różne definicje iloczynu wektorowego wektorów w przestrzennym ukÅ‚adnie współrzÄ™dnych i opisać jego interpretacjÄ™ geometrycznÄ…

b) Obliczyć pole pow ierzchni całkowitej równoległościanu opartego na wektorach a = [-2,0,0], b = [0.0.2] 1 c = [l.3.0]. Wykonać rysunek.

2.    a) Przy pomocy opisu i ry sunku przedstawić postać trygonometry cznÄ… liczby zespolonej b) RozwiÄ…zać równanie .v^: + .r + 1 = 0, a nastÄ™pnie sprawdzić, ze otrzymane rozwiÄ…zania speÅ‚niajÄ… 10 równanie. Na koniec przedstawić rozwiÄ…zania w postaci trygonometrycznej i na rysunku.

3.    a) Opisać, co nazywamy równaniem różniczkowym i jego rozw iÄ…zaniem.

ł>) Rozwiązać równanie różniczkow e v' = — z warunkiem początkowym v(l) = 2

y

4    a) Opisać sposób znajdowania ekstremów globalnych funkcji dwóch zmiennych.

I>) Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji określonej wzorem

/(x,y) = x² + xy + y² - 2.v - >\ a nastÄ™pnie wyznaczyć jej w szystkie punkty krytyczne.

5    a) Opisać, jak siÄ™ oblicza caÅ‚ki podwójne i podać ich interpretacjÄ™ graficznÄ….

b) Obliczyć caÅ‚kÄ™ podwójnÄ… JJ(3jt² - 2xy)dxdy, gdzie D jest obszarem pÅ‚aszczyzny

D

XOY będącym prostokątem D = {(.v,y): I £ x < 2, 0 <, y ś 2}. Wykonać rysunek 6. a) Opisać sposób obliczania objętości przy' pomocy całki podwójnej.

b) Obliczyć objÄ™tość bry Å‚y V poÅ‚ożonej nad obszarem D pÅ‚aszczyzny XOY, który jest trójkÄ…tem D = {(.v,y): x + y £ 2, x £ 0, y > 0} i która jest ograniczona powierzchniami o równaniach r = 0 i r = 4 - x - y. Wykonać potrzebne rysunki.