408 409

408 Programowanie dynamiczne

do końca procesu (czyli odpowiednia wartość g$). Na podstawie wcześniejszych rozważań i analizy rys. 9.4 stwierdzamy, że dla stanu y₂ = 0 mamy dwie decyzje dopuszczalne: x₂ = 3 lub jc₂ = 4. Jeżeli wybierzemy decyzję jc₂ = 3, to koszty w etapie 2, związane z realizacją tej decyzji, wyniosą 14, a na początku etapu 3 proces znajdzie się w stanie y₃ = 0.

Z obliczeń przeprowadzonych dla etapu poprzedniego wiemy, że g$(0)=14. Łączny koszt sterowania procesem dla stanu >'₂ = 0 (przy założeniu, że dla ostatniego etapu będzie to sterowanie optymalne) wynosi 14+14 = 28. Wartość tę porównujemy z kosztami związanymi z realizacją drugiej z możliwych decyzji, x₂ = 4.

Wybierając tę decyzję trzeba będzie w etapie 2 ponieść koszt 19. Proces na początku etapu 3 przejdzie do stanu y₃ = 1. Z kolei z obliczeń przeprowadzonych w poprzednim etapie wiemy, że (1) = 12. Łączny koszt sterowania procesem dla stanu y₂ = 0 (przy założeniu, że dla ostatniego etapu będzie to sterowanie optymalne) wynosi: 19+12 = 31. Tak więc rozpatrywane przez nas równanie optymalności dla stanu y₂ = 0 ma postać:

gf(0) = min {14+ 14, 19+12),

a stąd:

gf(0) = 28 oraz Jtf(0) = 3.

Jeżeli na początku etapu 2 proces znalazł się w stanie y₂= 1, to mamy do wyboru trzy decyzje: jc₂ = 2, j:₂ = 3 i jc₂ = 4. Równanie optymalności dla tego stanu ma postać:

gf (l) = min (12+ 14, 17+12, 22+ 10), a zatem:

gf(l) = 26 oraz jcf(l) = 2.

Pozostało do zapisania równanie optymalności dla stanu y₂ = 2. Mamy do wyboru decyzje: x₂ = 1, x₂ = 2. x₂ = 3 i x₂ = 4. Otrzymujemy równanie optymalności w postaci:

gf(2) = min {10+ 14, 15+12, 20+ 10, 25 + 0), a stąd:

gf(2) = 24 oraz *¥(2)=].

Obecnie zajmiemy się konstrukcją równania optymalności dla etapu 1. Będziemy minimalizowali sumę kosztów związanych z realizacją procesu od stanu początkowego = 1 do końca procesu (rys. 9.5).

W rozpatrywanej sumie uwzględnia się dwa składniki. Pierwszy z nich to koszty związane ze sterowaniem procesem w etapie pierwszym, natomiast drugi to

Rysunek 9.5

minimalne koszty sterowania procesem w etapach pozostałych do końca procesu (czyli odpowiednia wartość gf).

Na podstawie wcześniejszych rozważań i informacji przedstawionych na rys. 9.5 stwierdzamy, że dla stanu jy, = 1 mamy trzy decyzje dopuszczalne: x,=2, Xi=3, jc, = 4. Jeżeli wybierzemy decyzję Jt, = 2, to koszty w etapie 1 związane z realizacją tej decyzji wyniosą 12, a na początku etapu 2 proces znajdzie się w stanie y₂ = 0. Z obliczeń przeprowadzonych dla etapu poprzedniego wiemy, że gf (0) = 28. Łączny koszt sterowania procesem dla decyzji x, =2 (przy założeniu, że począwszy od etapu drugiego będzie to sterowanie optymalne) wynosi 12 + 28 =40.

Wybierając decyzję x, = 3 trzeba będzie w etapie 1 ponieść koszt 17. Proces na początku etapu 2 przejdzie do stanu y₂= 1. Z kolei z obliczeń przeprowadzonych w poprzednim etapie wiemy, że gf (1) = 26. Łączny koszt sterowania procesem dla decyzji x, = 3 (przy założeniu, że począwszy od drugiego etapu będzie to sterowanie optymalne) wynosi 17 + 26 = 43.

Wybierając decyzję x, =4 trzeba będzie w etapie 1 ponieść koszt 22. Proces na początku etapu 2 przejdzie do stanu y₂ = 2. Z kolei z obliczeń przeprowadzonych w poprzednim etapie wiemy, że gf(2) = 24. Łączny koszt sterowania procesem dla decyzji x,=4 (przy założeniu, że począwszy od drugiego etapu będzie to sterowanie optymalne) wynosi 22 + 24 = 46. Tak więc rozpatrywane przez nas równanie oply-malności dla stanu y, = 1 ma postać:

gf(l) = min {12 + 28, 17 + 26, 22 + 24},

a stąd:

gf(l) = 40 oraz rf(l) = 2.