4495

16

b) Liczba w jest czysto urojona wtedy i ty lico wtedy. gdy » j* O orna Re w ■ O. Stąd <f!0 oru

Liczby

°«10

Re w

* + »*♦» ₌

**+■(* + o*

Mamy calem *^ł + »' + I ■ O, esyli c* +

Ciii •

y -f —J = —. Jest to równanie okręgu

o środku w punkcie *o = — j i promieniu

r = j. Z poprzednich rozważali wynika, ic ■ okręgu tego należy wykluczyć punkty O oraz -i. Szukany zbiór przedstawiono na rysunku obok.

• Przykład 1.7

Punkty zi = -1 + 2«.    = « ora* z_Ą = 2 + 4« są wierzchołkami rówiiole^łoK i

Wyznaczyć położenie wierzchołka r₃ tego równoległoboku.    ⁶ °°oku

Rozwiązanie

W rozwiązaniu wykorzystamy interpretację geometryczną sumy liczb zespolonych. Wektor reprezentujący sumę ioi + toj jest przekątną równoległoboku zbudowanego na wektorach reprezentujących liczby zespolone u>i i «r*». Zatem szukany wierzchołek tego równoległoboku spełnia warunek z« — b ■ (*» — o) + (o — ii) . Stąd h-i«-i,+«i ~(2+40-(-l+2i) + » -3+3«-

Zadania

O Zadańie 1.1

Wykonać podane działania:

a) (1 - 3t) + (4 - 5«); c) (y/7 - >/5i) ■ (y/7 + y/3i)

e) x W, — w

1

Re r + i Im xv

b) (1 + v^2i) - (>/5 - 6i) ; d) ^{2 + 3f}

dla z = 5 — 2i, w = 3 + 4i.

X + w'    : + u

O Zadanie 1.2

Znaleźć liczby rzeczywiste x,y spełniające podane równania: a) *(2 + 3«) + i/(5 - 21) = -8 + 7«; b) (2 + yi) • (x - 3«) = 7 - i;

c)i±^ = 3.-l;    d) ^{X + 2,i    9}"²^-

x —2i

x — y«

9 + 2 i

O Zadanie 1.3

W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równania;

a) z* = 45;    f) = izll.    _ ₄*_{+13 = Q;}

d) (z + 2)* = (7 + 2)^a; c) 2r + 7= 0 - 5»;    (*) z^a - 6iz*- 12* +8« = 0;

g) (l+0»+3(i-i) = 0; «.J|Ł=±11.

O Zadanie 1.4

Zbadać, dla jakich wartości parametrów a,b 6 A równanie 7 — i Im z = a + Łi ma rozwiązanie.

O Zadanie 1.5

Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb z spełniających podane wa

runki:

a) Re (iz + 2) £ 0; b) Im g| < 0;    c) ~i =z z - 1;

d) - = 7;    e) zz + (5 + i)z + (5 - i)J +1 = 0; f) Imitli = i.

' ' %    l — i*

O Zadanie 1.6

Niech u = -v = -——, gdzie z € C. Naszkicować zbiór wszystkich liczb

z — 2:    tz + 4

zespolonych z, dla których:

a) liczba u jest rzeczywista;    b) liczba u jest czysto urojona;

c) liczba u jest. rzeczywista;    d) liczba u jest czysto urojona.

O Zadanie 1.7

Punkty Z|, zj, płaszczyzny zespolonej są wierzchołkami trójkąta. Wyznaczyć położenie punktu przecięcia środkowych tego trójkąta.

Wskazówka. Wykorzystać fakt, źc środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie i dzielą się w stosunku 2 : 1 licząc od wierzchołka:

O Zadanie* 1.8

Uzasadnić, że pole trójkąta, którego jeden wierzchołek jest w początku układu, a pozostałe dwa są w punktach z\, z% € C, wyraża się wzorem -1 Im (Ff • *a)l •

Odpowiedzi i wskazówki

1.1 a) 5 - 8i; b) 1 - -Jl + (6 + >/2) i; c) 10; d) | + |i; e) 7 - 26i, -

24 + lii
34
1.2 a) i -	-2; b) nie istnieją takie Ł
C) X mS,V	-17; d) *€ A\{0},y = -5*.
fi*
f i ^ł*' \£. Cl	i