4547

120

Geometria analityczna w przestrzeni

tylko dwie przekątne i i 3. Z faktu, że łamana AIIIIEA jest zamknięta wynika równość a|- ii -= 2 + 6, stąd Podobnie z faktu, że łamana ADCEA jest zamknięta wynika równość a •»6 - ć + 5, stąd ił = a + f> - Ć- Z analogicznych rozważań wynika, ic trzecia przekątna w wyraża się wzorem w ■--* iI + fi + Z, zań czwarta 2 = 3 - 5 + 0.

¹ Przykład 11.3

Znaleźć dowolny wektor S, który z wektorami 3 = (1,2,3), o = (6,-4,2) tworzy jednakowe kąty i leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez te wektory.

Rozwiązanie

W rozwiązaniu wykorzystamy fakt mówiący, że wektor, który jest sumą dwóch wektorów o jednakowych długościach, tworzy z nimi jednakowe kąty i leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez te wektory. Fakt ten wynika z elementarnych własności rombu. Niech d i 5 oznaczają wektory jednostkowe równoległe (z zachowaniem zwrotu) odpowiednio do wektorów H i 6 (rysunek). Wtedy

_*    5    (1,2,3)    ( 1    2    _3_\

"PI"^ + 2» + 3^ " V\/l4’ %/H‘ v/M/ ' ?' b (6,-4.2)    ( 3    J_\

|S| v^Tp4)³+2’ \/h'

a i

Wektor u tworzący jednakowe kąty z wersorami a , b , a zatem takie z wektorami S, ma postać

,(1.0.1),

^s=5'^+S’^{=    +} (Mlw) -^3

• Przykład 11.4

Obliczyć iloczyny skalarne podanych par wektorów:

a) 3b (-1,5,2), 6 = (3,0,7); b) u =*-; + £, v = ti-2t.

Rozwiązanie

a) Iloczyn skalarny wektorów 5 = (*i,»i,*.), b - (*z.|*.*z) obliczamy ze wzoru

do 6 = nzj + sny* + zjz₂.

Jedenasty tydzień - przykłady

Z&WB

do 6 » (-1.5,2) o (3.0.7) -(-1)- 3 + 50+2-7* 11. b) 'V ioa«i|uniu wykorzystamy wlunold ilocsynu łkaUmrfo wektorów oraz (akt. że wersory 7, j, fi s% parami proatopadle, lin. spełniają tównolci-.

IoJ= Jot-fio7 = o.

Zatem

u o 9 m (7 - J + fi) o (3« - 2fc)

— 3(7 ot) — 2(7 o fi) — 3 (J o 7) + 2 (J o fi) + 3 (fi o 7) — 2 (fi o fi) *3-2*1.

• Przykład 11.5

Korzystając s ilocsynu skalarnego obliczyć miary kątów między:

a)    wektorami 5 s (1, v/2,3) . 5 = (0, — \/2, l) ;

b)    wektorem 3 = (•!, —12,3) i płaszczyzną xO* układu współrzędnych;

c)    przekątnymi ścian prostopadłościanu o krawędziach długości a = 5, 6 = 6, c =

7, wychodzącymi z jednego wierzchołka.

Rozwiązanie

Miara kąta między wektorami niezerowymi a i 6 wyraża aię wzornn

ł(a,5)-«cco.i^.. I

a)    Dla wektorów a = (l,>/2,3) i 6 * (0.-^2,l) mamy

. / _    __(l.^3)o(0,-x/2.l)

Ą (3,6) * arccos—    =    ■ -    — -----"■

0* + (>/5) +3’ yo* + (-V5) + 1*

* arccos 4 =■ 1.401 rod] as 80,4*.

O

b)    Zauważmy najpierw, że miara kąta między wektorem i płaszczyzną jest równa mierze kąta między tym wektorem i jego rzutem prostopadłym na tę płaszczyznę. Rzut prostopadły wektora fi = (4.-12.3) na płaszczyznę tOz ma postać fi' * (4.0.3), Zatem

o =•$ (fi. v)

arccos

(4,0,3) o (4.-12.3)

n/4⁵ + 0> + 3* - >/\* + (—12)* + 3*

arccos — es 1,18(rad] fts 67,3*.