4561

Geometria analityczno w przestrzeni

140

St«d 91 +1.0, ayK I = więc /»' =    y. - y) •

b) I sposób. Punkt p' € * jest nulem prostokątnym punktu P na pławciyznę x, jeżeli spełniony jest warunek P PH n, gdiic a oznacza wektor normalny płaszczyzny *. Niech P' - (x.y,ł). Wtedy P'P= (-r,-y, 1 - r). Wektor P'P jest równoległy do wektora

n = (1,1,-2) Wtedy i lylko wtedy, gdy P'P= M dla pewnego * G i?\ {0}. Współrzędne punktu P spełoiają zatem układ równań

Trzynasty tydzień - przykłady

Rozwiązaniem tego układu jest trójka liczb x w l, _y = j, _; - j. 7..^, ,4 m (1,1,1) a X. Wybieramy teraz dowolny punkt B = (*'.»'.*') * A o. prostej /. Przyjmując np. z* = 0, otrzymamy y = 0 oraz a *= 0. Postępując podobnie jak w punkcie b) tego przykładu znajdziemy rzut prostokątny u' - (|s |* f) punktu B na płaszczyznę ». Teraz znajdziemy równanie prostej '/ przechodzącej przez punkty i B'. Mamy

Rozwiązaniem tego układu jest trójka liczb

I ;

* =¹ + 7*.

S» = 1 + y t, gdzie t € JŁ

Przyjmując l m 7a otrzymamy uproszczoną postać tego równania

, / *-l+4z,

¹ ' s V = I + Z, gdzie a € JL

l *-l-2z,

I 1    5 „ .

Zatem

1,1).

3 3/

II sposób Niech / omacza prostą prostopadłą do płaszczyzny x i przechodzącą przez punkt P. Równanie parametryczne t<jj prostej ma postać

/: * = i,y = i,z = 1 — 21* gdzie t € Jl.

Szukany rzut P‘ jest punktem wspólnym prostej / i płaszczyzny *. Jego współnędae (1,1,1 - 2t) wstawiamy do równania płaszczyzny w otrzymując * +1 - 2(1 - 2*1 + * **>.

i    »    / i 1 5\

Stąd 6t + 2 = 0, więc t = Zatem P =

c) Rzut prostej / na płaszczyznę ir wyznaczymy w następujący sposób. Na prostej / wybieramy dwa dowolne punkty A i B. Następnie znajdujemy nuty prostokątne A i B tyci punktów na płaszczyznę *. Rzutem prostokątnym prostej / na płaszczyznę t będzie wtedy prosta t przechodząca przez punkty A i B . Dla uproszczenia obliczeń wygodnie jest przyjąć, ic A jest punktem przecięcia prostej / i płaszczyzny t. Wtedy A' m Ą- Niech A = (z.p.z). Współrzędne punktu A spełniają układ równań

• Przykład 13.4

Znolcić punkt symetryczny do punktu P = (0,1,3) względem:

a)    punktu 5 = (1,0,-1);

b)    prostej /:    = y = -j-;

c)    płaszczyzny nr: x + y + z = 0.

Rozwiązanie

n) Punkt /’ jest symetryczny do punktu P względem punktu S, jeżeli spełnia warunek

SP ^-SP .

Niech p' m (z,SI,:). Wtedy SP = (z - l.p.z +1) oraz 5F= (-1*1,4). Z wznak* SP =. - SP wynika, że współrzędne punktu P‘ spełniają układ równań

*-1*1,

1 ■ -4. .

Rozwiązaniem tego układu jest trójka liczb z = 2, y = -i s= -5. Zatem p’ = (2.-1.-5).

b) Punkt P jest symetryczny do punktu P względem prostej l, jeżeli spełnia warunek

SP ta- SP, gdzie S oznacza rzut prostokątny punktu P na prostą /. Znajdziemy teras nut prostokątny S punktu P = (0,1,3) ■a prostą

I r = y = z,

\ i + 2jr + 3z — 6 m 0.