4 (9)

89

i określoności jest zbiór ^y nazywamy pochodną

na/jest różniczkowal-zbioru E a <a, by, to

ustronną; doprowadza ości. na końcach prze-inio prawostronna lub idnymi.

^lo/'(x)jest określona z określone.

ajmować się wyłącznic ib domkniętych. Tłuma-nkcji rzeczywistych do io funkcji określonych

l (a, by. Dia dowolnego

Pochodna funkcji rzeczywistej

5.2. TWIERDZENIE. Niech funkcja f będzie określona w przedziale domkniętym {a, by. Kbcó/jest różniczkowalna w punkcie x e <a, by, to jest ciągła w tym punkcie.

Dowód. Na podstawie twierdzenia 4.4 przy t-*x mamy

m-m=u-*)-*•/'(*)• o = o.

Twierdzenie odwrotne do powyższego jest nieprawdziwe. Bez trudu można podać przy-■fcdy funkcji ciągłych nie mających pochodnej w punktach izolowanych. W rozdziale 7 ■poznamy się z przykładem funkcji ciągłej na całej prostej, która nie jest różniczkowalna p żadnym punkcie!

53. TWIERDZENIE. Niech f i g będą określone w <a, ó> i różniczkowalne w punkcie pe <a, by. Wtedy f+g,fg i f/g są różniczkowalne w punkcie x oraz

a)    (/+g)' W = /'(*)+g\x)\

b)    (fg)' (x) = f'(x)g{x)+f(x)g'(xy,

c)

_L    W^1X    9²W

W twierdzeniu c) zakładamy oczywiście, że g(x) # 0.

Dowód. Twierdzenie a) wynika z twierdzenia 4.4. Niech h = fg. Wtedy

h(t)-h(x) =f(t) lg(t)-g(x)-]+g(x) [/(t)-/(x)].

Jeżeli podzielimy tę równość przez t—x i zauważymy, że/(r)-+/(x) przy t-*x (twierdzenie 5.2), p otrzymamy b). Wreszcie, niech h = f/g. Wtedy

h(t)-h{x)    1 f , J(t)-f(x) _/._/^g(t)-g(x)

t—x    g(O0WL^0W i~^{x JK i}~^x

Biorąc pod uwagę twierdzenia 4.4 i 5.2, przy t->x otrzymujemy c).

5.4.    Przykłady. Pochodna każdej funkcji stałej jest oczywiście równa zero. Jeżeli/jest Utreślona równością f(x) = x, to f'{x) — 1. Wielokrotne stosowanie twierdzeń b) i c) pokazuje, że funkcja x" jest różniczkowalna przy dowolnym n całkowitym i jej pochodna jest ■bwna nx"~¹ (przy n < 0, x # 0). Wynika stąd, że każdy wielomian jest różniczkowalny. To urno można powiedzieć o dowolnej funkcji wymiernej, jeżeli wykluczyć punkty, w których Ją mianownik przyjmuje wartość zero.

Poniższe twierdzenie podaje regułę różniczkowania funkcji złożonej. Ogólniejszy przypa-<tek tego wzoru będzie podany w rozdziale 9.

5.5.    TWIERDZENIE. Niech f będzie ciągła na <a, fc), f'(x) istnieje w pewnym punkcie x € (a, by, niech g będzie określona na przedziale I zawierającym zbiór wszystkich wartości przyjmowanych przez f oraz g różniczkowalna w punkcie f(x). Jeżeli

h(t) = gif(t)) (a < t b),