7 (1)

Pojęcia wstępne

125

Zatem pomimo (11)

o

jf_m(x)dx « 2^2^{_>+ 00}    ("-*⁰⁰)-

Jeżeli we wzorze (10) współczynnik n² zastąpimy n, to jeszcze w dalszym ciągu (11) będzie spełnione, ale teraz

o

podczas gdy J [lim f, (xj]dx = 0.

Wynika stąd, że nawet wtedy, gdy granica całek i całka z granicy są skończone, równość nie musi zachodzić.

Po tych kilku przykładach, które miały za cel pokazanie, że beztroska zamiana kolejności przejść granicznych może doprowadzać do błędów, zdefiniujemy nowy rodzaj zbieżności, mocniejszej niż zbieżność punktowa zdefiniowana w 7.1. W przypadku tej mocniejszej zbieżności, w znacznej ilości podobnych do opisanych sytuacji zamiana kolejności przejść granicznych jest możliwa.

Zbieżność jednostajna

7.7. DEFINICJA. Powiemy, że ciąg funkcji {/„}, n = 1,2,3,... Jest zbieżny jednostajnie na zbiorze E do funkcji/Jeżeli dla dowolnego e > 0 istnieje liczba naturalna N taka, że dla n > ^ N zachodżi (12) przy dowolnym xe E.

Jest oczywiste, że każdy ciąg zbieżny jednostajnie jest także zbieżny punktowo. Różnica między zbieżnością punktową a jednostajną polega na tym, że w pierwszym przypadku dla dowolnego e > 0 i dla dowolnego ustalonego x można dobrać takie N (które zależy i od e, i od x), że dla n ^ N będzie spełniona nierówność (12); jeżeli ciąg {f,} jest zbieżny jednostajnie, to przy każdym e > 0 można dobrać jedną wspólną dla wszystkich punktów xe E liczbę N.

Powiemy, że szereg £/,(*) jest na zbiorze E zbieżny jednostajnie, jeżeli ciąg {sj sum częściowych określonych równością

««(*)« £/<(*) f»t

jest zbieżny jednostajnie na zbiorze E.

Następujące twierdzenie jest przeniesieniem kryterium Cauchy’ego na przypadek zbieżności jednostajnej.