8 (19)

145

Zadania

niech AJ(t) =/.'(t)— ?(<,/*(())> z wyjątkiem punktów x₍, gdzie d„(t) = 0. Wtedy

fj.x) = c+ J[ł>(f,/Jt))+

O

Wybierzmy M tak, aby    Sprawdzić następujące stwierdzenia:

a)    |/»l ^ W, |4,,| < 2M, A„e& oraz (/J < lej+M = M, na <0,1) przy dowolnym n.

b)    Ciąg {/«} jest jednakowo ciągły na <0,1>, bo |/,j < M.

<0 Pewien podciąg {J^} jest zbieżny do funkcji/jednostajnie na <0,1>.

d)    Ponieważ funkcja f> jest ciągła jednostajnie w prostokącie 0 < x < 1, |y| < A/,, więc    p(*>/W)

jednostajnie na <0,1).

e)    d„(f)-*0 jednostajnie na <0,1>, bo d„(r) = ?(x,,/&<))- r(t,Mt)) w (x_h x₍₊

f)    Zatem

f(x) = c+J <p(t,f(t))dt.

O

Funkcja/ tak określona jest rozwiązaniem naszego problemu.

26. Udowodnić analogiczne twierdzenie o istnieniu rozwiązania dla równania z warunkiem początkowym

y' = <P(x, y),    y(0) = c,

gdzie teraz ce R^k,ye R^k, a jest ciągłym ograniczonym odwzorowaniem części przestrzeni R^k+1 określonej przez nierówności 0 < x ^ 1, ye/ł*w przestrzeni R^k. (Porównaj z zadaniem 28 z rozdziału S.)

Wskazówka. Zastosować wektorową wersję twierdzenia 7.2S.