8 (28)

154

8. Pewne funkcje specjalne

Jeżeli chodzi o zachowanie się funkcji logx przy jc-* + oo i przy x-»0,to twierdzenie 8.6 e) pokazuje, że

przy x—* -ł* óo, przy x-»0.

Łatwo wykazać, że

x" = E(nL(x))

01)

przy x > 0 i n całkowitym. Analogicznie, gdy m jest liczbą naturalną, to

Wynika to stąd, że każda ze stron równości (42) po podniesieniu do m-tej potęgi przechodzi w odpowiednie wyrażenie z równości (37). Łącząc (41) i (42} mamy

(43)    E(aUpt)) -dla dowolnego ot wymiernego.

Określimy teraz x* przy dowolnym ot rzeczywistym i dowolnym x > 0 za pomocą równości (43). Ciągłość i monotoniczność funkcji E i L powodują, że ta definicja daje te same własności, co i podana poprzednio. Twierdzenia sformułowane w zadaniu 6 z rozdziału 1 są trywialnymi wnioskami z równości (43).

Różniczkując (43), otrzymujemy na mocy twierdzenia 5.5

(44)    (x*j' * E(oiL(x)) • j = ax*^_1.

Zauważmy, że poprzednio korzystaliśmy z (44) tylko dla całkowitych wartości, a w tym przypadku (44) wynika łatwo z twierdzenia 5.3 b). Dowód równości (44), korzystający bezpośrednio z definicji pochodnej, przy funkcji^-** zdefiniowanej wzorem (33) w przypadku gdy a jest liczbą niewymierną nie jest prosty.

Dobrze znany wzór na całkę funkcji x“ wynika dla a #r4?.l z (44), a przy a = — 1 ze wzoru (38) Udowodnimy jeszcze następującą własność funkcji logx:

(45)    lim x^_*Ibgx^ 0

+ 00 J

przy dowolnym a > 0. Mówiąc inaczej, log^^-Jo przy x~* + oo „wolniej” niż jakakolwiek

dodatnia potęga zmiennej x.    .    .....

Istotnie, jeżeli Ó<e<a,ax> 1, to

r    r    ^jęk—*

x^-alog(x) = x~* I t~^%dt < x~“ I P~^ldt — x^-*—— <’

1    _t0 <-i:'    1

skąd wynika (45). Moglibyśmy także skorzystać z twierdzenia 8.6 f) dla wyprowadzenia równości (45)> §<