alg egz2002 teo zad term1

Matematyka Stosowana - Egzamin z Algebry 19. 06.2002.

I W zbiorze R = {.v x > Ojokrcślamy działanie: a * b = i rozważamy strukturę algebraiczną (R~, • ,* ) Czy jest to pierścień całkowity ? Czy jest to ciało?

2. Niech / R² —> R¹ liniowe, takie, że f( 1.2) = (2.4). f(-2.1) = (2. -1) .Wyznaczyć macierz odwzorowania/¹'⁰ w bazie kanonicznej.

'3-10    0]

110 0

3    0    5 -3

3. A =

jest macierzą cndomorfizmu / R⁴ —> R⁴ w bazie kanonicznej.

I

4 -1 3 -lj

Znaleźć bazę. w której macierz endomorfiznui f ma postać Jordana. Podać maksymalny rozkład R⁴ na podprzestrzeme niezmiennicze cndomorfizmu f. Jaka postać maja macierze cndomorfizmu f zacieśnionego do tych podprzestizeni? (Wiadomo, że X - 2 jest czterokrotną wartością własną).

4.    W przestrzeni RJ.\|_: z. iloczynem skalarnym poq =p(-1 )q(-l) + p( 1 )q( 1) + p(2)q(2) znaleźć bazę ortonormalną.

5.    W przestrzeni cuklidcsowcj E ‘ze standardowym iloczynem skalarnym znaleźć rzut ortogonalny wektora

v = (1,1.1.1) na podprzestrzeń U = ^x,y_yz,t): x + y -    + z - 0}.

6 Wykazać, że rzAB < min(rzA.rzB)

Teoria:

I Podać definicję sumy prostej podprzestrzeni wektorowych oraz. warunki konieczne i wystarczające.

Udowodnić twierdzenie o wymiarze sumy algebraicznej.

Czy prawdziwa jest równość. (£/, + U₂) fi V = U_} D V + U₂ fi V, gdzieś/, JU _X,V są podprzcstrzeniami wektorowymi pewnej przestrzeni wektorowej.

2.    Co to znaczy, że endomorfizm jest diagonalizowalny. Podać i udowodnić WKW aby endomorfiz.m był diagonalizowalny.

3.    Podać definicję macierzy odwzorowania liniowego oraz. związki między działaniami na macierzach i odwzorowaniach. Jeden z nich udowodnić

4.    Podać definicję wyznacznika macierzy i jego własności. Udowodnić związek między odwracalnością macierzy i jej wyznacznikiem.