EGZAM1

Metody Matematyczne Akustyki - egzamin pisemny 24.06.2014

1.    Zdefiniuj a) operator nabla oraz gradient,, dywergencję i rotację;

• b)udowodnij tożsamość V • (f A) = fV ■ A+AVf

c)korzystając z tej równości i innych poznanych twierdzeń wykaż twierdze-

nie/tożsamość Greena f{<i>AU + V<^ • VU)dv = f{<p^U)ds, jeśli <£. U - pola v    s

skalarne, dv- element objętości V, ds - element, pow. 5.

2.    Podaj a) definicję współczynników I,ame^!go oraz powód ich wprowadzenia

przy stosowaniu układów ortogonalnych krzywoliniowych    .    '

b)oblicz je dla układu sferycznego zmiennych (r. 0. p) i wyznacz wersor kąta biegunowego (0 ^ 0 ^ tt) czyli e»

3.    Opisz a) w skrócie w punktach metodę Froboniusa rozwiązywania równań różniczkowych i postać uzyskanego rozwiązania

b) znajdź wszystkie punkty osobliwe następującego równania różniczkowego i dokonaj ich klasyfikacji:

(1 + 4x²)V' + 6x(l + 4- 9y = 0.

4.    Na przykładzie jednorodnego równania falowego a)przedstaw w punktach poznany sposób rozwiązywania równań tego rodzaju

b)    podaj jego związek z równaniem Helmhoitza i co wynika z faktu, że jest to równanie własne

c)    napisz ogólną postać rozwiązania jednorodnego równania Helmhoitza we współrzędnych cylindrycznych. Jakie są fizyczne powody występowania w rozwiązaniu tego równania falowego funkcji Bessela wyłącznie całkowitego rzędu?

5.    W teorii funkcji analitycznych ważną rolę odgrywa pojęcie residuum funkcji, a) Wyjaśnij dlaczego (podaj odpowiednie przykłady stosowania) i jak możemy je obliczyć;

00

b)    oblicz całkę / ;?i    korzystając teorii residuów.

-oo

c)    Uzasadnij odpowiednim twierdzeniem lub własnością każde z dokonywanych przekształceń.

Uwaga: każdy podpunkt, zadania - 2pkty. Maksymalna ilość punktów - 26, ocena dst - od 13 pktów.