alg egz2002 teo zad term2

Egzamin z Algebry-JgffifiST. f , / / (f' ^

Część II.

1.    W zbiorze liczb rzeczywistych >1 określono działanie: a*b = ab - a - b +2.

Sprawdzić, Ze ( A, •) jest grupą.

2.    Niech f: R² -► R² będzie obrotem płaszczyzny wokół początku układu współrzędnych o kąt

0 < <P < n.. Przyjmując jako bazę wersory prostokątnego układu kartczjańskiego współrzędnych znaleźć macierz Mf. Udowodnić, że Mf nie jest podobna do żadnej macierzy diagonalnej.

Czy ten wynik można przewidzieć na drodze geometrycznej.

3.    Dana jest macierz endomorfizmu f w przestrzeni V wielomianów st. £ 3 w bazie

( 1, x, x², x³):

"2    -1    2    -f

0 10-1 ^A~    0    0    2    0

0    1    -2    ³ _

a)    Wyznaczyć bazę, w której macierz endomorfizmu f ma postaś Jordana.

b)    Zapisać przestrzeń V jako sumę prostą podprzestrzeni Jordana oraz podać macierze odwzorowania f zacieśnionego do tych podprzestrzeni.

4.    W przestrzeni euklidesowej wielomianów st.£ 2 z iloczynem skalarnym:

i

P JP(x)q(x)dx 0

znaleźćjiopełnienie ortogonalne V = lin ( x,x²), a następnie podać plan wyznaCuviud odległości dowolnego wektora w od podprzestrzeni V.

5.    Niech f,, f₂: V V odwzorowania liniowe takie, że f,²* f,, f₂²= f₂ oraz f,+ f₂ - Id.

Udowodnić, że V = Imf| ©Imf₂.    _

C, a) <(.; U-^>V    <1;    W —    u*u'ouh.

^c\l<hyv)-cd-Lui    Qo£-o£=Z> -f C “Ł

h)    /v 6    i /ć)    3    K) •

lloU^cwuc , ie    fh‘ B = O i

^rtx fi-1 -riftź 'W •

H U

Matematyka Stosowana^^^^ Egzamin z Algebry-

Część I.

,1 Udowodnić, żc jeżeli ciało zawiera co najmniej dwa elementy, to I * 0 ,) Wykazać, że kaiie ciało przemienne zawierające co najmmej dwa elementy jest pierścieniem całkowitym.

3.

4.

KSS jeżeli do dowolnej kolumny macierzy dodamy kombinację liniową innych kolumn.

SdZS^w^S^em wlasnej odpowiadającej wartoćci własnej rćwnasię co najwyżej krotności tej wartości własnej.